Розділ 4. ЗАВАДОСТІЙКЕ КОДУВАННЯ ПОВІДОМЛЕНЬ
Мета вивчення 4-го розділу дисципліни:
Освоїти термінологію теорії кодування повідомлень.
Зрозуміти одну із можливостей безпомилкової передачі інформації в СПІ, а саме принцип завадостійкого кодування.
Побачити еволюцію методик проектування завадостійких кодів.
Питання, на які студент повинен знати відповідь, приступаючи до вивчення цього розділу:
Який зміст вкладено в поняття “завадостійкість системи передачі інформації”?
Який параметр ансамблю сигналів визначає потенціальну завадостійкість системи передачі інформації?
Яка ідея покладена в основу принципу завадостійкого кодування?
Яким показником можна характеризувати завадостійкість цифрової системи передачі інформації?
Поняття, які необхідно знати для сприйняття матеріалу розділу 4:
Код – це алгоритм (правило) згідно з яким кожному повідомленню присвоюється відповідна кодова комбінація.
Кодова комбінація – це набір цифр (символів, розрядів), яким ставиться у відповідність певне повідомлення (буква, число, відлік неперервного сигналу).
Алфавіт коду – це весь можливий набір цифр (символів), який використовується при формуванні кодових комбінацій.
Цифровий сигнал – послідовність двійкових імпульсів, які представляють певне число (послідовність цифр).
Прості і завадостійкі коди: Всю множину кодів поділяють на дві групи: прості і завадостійкі (коректуючі). При застосуванні простих кодів всі кодові комбінації служать для передачі повідомлень, а при застосуванні завадостійких – всі кодові комбінації поділяються на дозволені і заборонені. Прийом заборонених комбінацій свідчить про наявність помилок у прийнятих повідомленнях (виникнення цих помилок зумовлене дією завади на сигнал в процесі передачі).
4.1. Основні параметри кодів
Знаючи алфавіт коду та кількість розрядів в кодовій комбінації (приймаємо, що всі можливі кодові комбінації мають однакову кількість розрядів) можемо визначити кількість кодових комбінацій коду:

де m – кількість цифр (символів) в алфавіті коду;
n – кількість розрядів в кодовій комбінації.
Цей параметр має назву потужність коду. Потужність коду є безрозмірною величиною.
Для завадостійких (коректуючих) кодів використовується параметр мінімальна кодова відстань (або відстань Хемінга) . Цей параметр характеризує здатність коду виявляти і виправляти помилки.
Вага кодової комбінації  це ще один параметр, який для двійкового коду представляє кількість одиниць в кодовій комбінації.
4.2. Оцінка здатності кодів виявляти та виправляти помилки в передачі окремих цифр
Для того щоб провести таку оцінку потрібно вияснити, що означають такі поняття: відстань між сигналами та мінімальна кодова відстань між сигналами.
4.2.1. Введення поняття «відстань між сигналами»
Для ведення цього поняття розглянемо процес передачі двох гармонічних сигналів при дії на них адитивної квазігармонічної завади. Розгляд цього процесу проведемо з використанням геометричної моделі. На рис. 4.1 зображені два сигнали s0(t) і s1(t), які передаються при дії адитивної завади ?(t) та їх суміш z(t).
Нагадаємо правила побудови геометричної моделі гармонічного або квазігармонічного сигналів. Для цього гармонічний (або квазігармонічний) сигнал представимо в наступному вигляді:

де U – амплітуда гармонічного сигналу; визначає довжину вектора
? – циклічна частота; визначає швидкість обертання вектора;
?t – миттєве значення кута на який відхилився вектор від початкового
положення за час t;
?0  початкова фаза; визначає початкове положення вектора.
Завада є випадковим процесом і одне миттєве значення завади не дає узагальненої картини процесу передачі сигналів. Отже для отримання узагальненої картини процесу передачі сигналів необхідно спостерігати дію завади напротязі деякого часу (див. рис. 4.2). Проведемо аналіз результатів “спостереження”. На рис. 4.2а представлено модель дії “слабкої” завади. Так як вектори, що представляють миттєві значення завади приймають будь-які положення відносно кінця вектора сигналу, то результат їх дії представлено на моделі колом. Це коло відображає всі можливі варіанти дії завади на сигнал і відповідно всі можливі положення вектора спотвореного сигналу z. При всіх можливих варіантах дії “слабкої” завади, приймаючи сигнал z можна однозначно встановити, який з двох сигналів було передано. Якщо потужність завади збільшується, а таку ситуацію представляє модель зображена на рис. 4.2б, то бачимо появу зони взаємного перетину кіл.
Що ілюструє поява зони взаємного перетину кіл? Приймання сигналу z, який належить цій зоні, не дає можливості однозначно відповісти на питання: який з двох сигналів s0 чи s1 було передано. Це означає, що в цих випадках можлива помилка при визначенні сигналу. Отже площа взаємного перетину кіл відображає питому вагу помилок, які можуть бути допущені при прийомі сигналів. Якщо знайти відношення площі утвореної взаємним перетином кіл до загальної площі окресленої двома колами, то отримаємо показник “ймовірність помилки при прийманні сигналів s0 і s1”.
Які можна запропонувати способи усунення ефекту помилки при прийманні сигналів в СПІ? Щоб усунути ефект помилки треба ліквідувати зону взаємного перетину кіл. А ліквідувати зону взаємного перетину кіл можна:
збільшуючи довжину векторів, які представляють сигнали s0 і s1;
збільшуючи кут між векторами, які представляють сигнали s0 і s1.
Радіотехнічною мовою ці рекомендації будуть звучати так:
необхідно збільшити потужність одного з двох сигналів s0 чи s1 , або
обох сигналів одночасно;
поміняти значення початкової фази одного або обох сигналів.
Ще один корисний висновок можна зробити на основі представленого розгляду: можливість безпомилкового приймання двох сигналів, які передаються в умовах дії завад, характеризується “відстаню між сигналами”. Відстань між сигналами представляє відрізок прямої, який з’єднує кінці векторів сигналів (див. рис. 4.3).
Зауваження до запропонованих способів усунення ефекту помилки. Якщо випромінювання сигналу здійснюється в ефір і в зоні дії передавальної антени знаходяться люди, то слід памятати, що допустима напруженість електромагнітного поля обмежена величиною 2,5 . Це величина обмежує в даному випадку максимальне значення потужності передавача. Тобто при використанні першого способу слід враховувати це обмеження. На використання другого способу це обмеження не впливає.
Тепер постає наступне питання:
Як можна поширити використання параметра “відстань між сигналами” на сигнали, які представляють кодові комбінації?
4.2.3. Представлення параметра “відстань між цифровими сигналами” по Хемінгу
Побудуємо геометричну модель для повного ансамблю сигналів, якщо код є двійковим трьохрозрядним: m = 2, n = 3.
Потужність коду
Перелік всіх можливих кодових комбінацій такого коду:

Будуємо тривимірну систему координат і відкладаємо на всіх її осях рівні відрізки, які є сторонами куба. У вершинах сформованого куба розміщуємо кодові комбінації коду, таким чином, щоб кодові комбінації в сусідніх вершинах відрізнялися в одному однойменному розряді (див. рис. 4.4). Таке представлення геометричної моделі коду було запропоноване Хеммінгом.
Нагадаємо, що кожній кодовій комбінації відповідає своя реалізація цифрового сигналу. Геометрична модель коду у вигляді куба на рис. 4.4 дає можливість «побачити» параметр «відстань між двома сигналами». Відстань між двома сигналами визначають як мінімальну кількість ребер куба, які з’єднують ці два сигнали (відповідні вершини куба).
Приклад:
1) 2)
Як визначити мінімальну кодову відстань між двома кодовими комбінаціями, якщо маємо n-вимірний простір Хеммінга (тобто n-розрядні кодові комбінації)?
Потрібно додати по модулю 2 ці дві кодові комбінації і порахувати вагу результуючої кодової комбінації:
Приклад:

Як уже згадувалося вище цей параметр пов’язаний з коректуючими властивостями коду. Якщо можлива однократна або двократна помилка, то ми можемо лише виявити що сталася помилка, але де саме (в якому розряді) ми сказати не можемо.
Властивості коректуючого коду:
виявляти помилки;
виправляти помилки;
виправляти помилки меншої кратності і виявляти помилки більшої кратності.
Враховуючи все вище викладене можна виділити наступні моменти:
чим більша мінімальна кодова відстань коду тим краща його здатність виявляти помилки;
потрібно розрізняти поняття “мінімальна кодова відстань для пари кодових комбінацій” і “мінімальна кодова відстань для коду”.
Мінімальна кодова відстань для пари кодових комбінацій визначається для всіх пар кодових комбінацій коду що розглядаться. Мінімальна кодова відстань для коду – це найменше значення кодової відстані з поміж всіх значень кодових відстаней, визначених для всіх пар кодових комбінацій коду.
4.2.4. Зв'язок мінімальної кодової відстані з властивостями завадостійког