Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
Диференціальним називається рівняння, в яке входять похідні невідомої функції.
Приклад:
(1)
(2)
Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). Це, наприклад, рівняння (1) . ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних. Ми розглянемо методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь.
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної ( або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) -го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні (або диференціал) до -го порядку включно:
(3)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції.
Диференціальне рівняння -го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(4)
Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної.
Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші.
Якщо ці значення задаються при або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою.
Значення залежної змінної та її похідних називаються ще додатковими умовами.
В задачі Коші додаткові умови називаються початковими.
В крайовій задачі - граничними.
Задача Коші
Задача Коші формулюється так :
Нехай задане ДР
(5)
з початковими умовами . Потрібно знайти функцію , що задовольняє дане рівняння, та початкову умову. Чисельний розв’язок цієї задачі одержують так. Спочатку обчислюють значення похідної, потім задаючи малий приріст , переходять до нової точки

Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива . Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної.
Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші.
Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про попередній крок.
Однокроковими є метод Ейлера та методи Руте-Кутта.
Багатокрокові (або методи прогнозування та коригування). Для знаходження наступної точки кривої вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок. До них належать методи Адамса, Мілна, Хеммінга.
Це чисельні методи розв’язування ДР. Вони дають розв’язок у вигляді таблиці значень.
Метод Ейлера
Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду
(1)
Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика.
- настільки мале, що значення
функції мало відрізняється від
лінійної функції
- тангенс кута нахилу дотичної в

x
h
Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної .
Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки

(2)
Якщо мале, то, члени розкладу, що містять в собі і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати.
Тоді (3)
Похідну знаходимо з рівняння (1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.
,
роблячи як завгодно багато кроків.
Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях.
Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності.
В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.
Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.
(4)
Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу .
Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення :
(5)
Цей прийом ілюструється на рисунку.


xn h/2 xn+1
Принцип модифікованого методу можна пояснити інакше. Якщо в розкладі в ряд Тейлора зберегти член з
(6)
Замість другої похідної можна використати наближення кінцевою різницею
(7)

. Підставивши (7) в (6) одержимо
(8)
Що співпадає по формі з (5). Відмінність між (8) та (5): в (5) точне значення похідної замінимо на . Похибка при такій заміні має порядок .
Відмітимо, що за підвищення точності доводиться платити додатковими затратами машинного часу.
В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:
знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)

будується ітераційний процес
(9)
Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою . Якщо після декількох ітерацій співпадання нема, то потрібно зменшити крок .

Тобто в модифікованому методі Ейлера, в методі Ейлера-Коші з ітераціями спочатку (на першому етапі) знаходиться наближення для , а потім воно вже коригується за формулами (5) або (9).
Історичні відомості: Ейлер
Леонард Ейлер (1707 – 1783) народився і виховувався в Базелі (Швейцарія). Одним із його вчителів був Йоганн Бернуллі. Роки по тому Бернуллі відзивався про Ейлера, як про “найзнаменитішого і наймудрішого математика”. Ейлер писав і публікувався з великою продуктивністю: майже 600 книг і статей на протязі життя. Його вплив був настільки великим, що по крайній мірі в математиці, вісімнадцяте століття можна назвати епохою Ейлера. Ейлер зробив вклад не тільки в математику, але і в фізику, астрономію гідродинаміку, оптику, в теорію електроніки і магнетизму. В 1768 він запропонував метод рішення початкових задач. Він також ввів багато із звичних на сьогодні математичних позначень, в тому числі символ е для основи натурального логарифма, і для , ?у для кінцевої різниці, ? для суми, запропонував символ f використовувати разом з дужками для позначення функції, а також придумав назву для тригонометричних функцій, які використовуються і сьогодні.
Ейлер 14 років працював в Російській академії наук, в Санкт-Петербурзі. Потім він переїхав в Берлін і працював в Берлінській академії до того часу, доки розбіжності з королем Фрідріхом Великим не змусили його повернутись в Росію, де він і провів останні роки свого життя. Він ніколи не повертався в Базель, покинутий ним у 1727 році.
Талановиті і удачливі люди дуже часто беруться за безліч проблем; Ейлер не був винятком. Він працював в області суднобудування, входив до різноманітних технічних комітетів, займався перевіркою засобів для зважування і пожежних помп, керував складанням календарних і географічних карт, слідкував за ботанічними садами. Він надто рано