|
Линейное программирование: постановка задач и графическое решение
Общая задача линейного
программирования. Графический метод решения задачи
линейного программирования. Обобщение графического метода решения задач
линейного
программирования. Линейное
программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и
наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные
ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к
задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования
линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить
хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их
использования можно довольно просто проиллюстрировать. 2 + a +
a Так как Z - линейная функция,
то = С (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции
не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой
ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе
области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные
являются константами. Для решения задач линейного программирования
потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение
линейное программирование получило в экономике, так как исследование
зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах,
приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на
неизвестные. Даны линейная функция
и система линейных ограничений
+ ... +
a + a 0 (j = 1,
2, ... ,n) Найти такие неотрицательные значения х , которые удовлетворяют системе ограничений
(1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях
, X 0 N Матричная
форма записи , с Х - матрица-столбец, А
Минимизировать линейную функцию Z = С Планом или допустимым решением задачи
линейного программирования называется Х = (х 0пределение 2. ) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, ..., N), входящие в
разложение (1.4) с положительными коэффициентами х , являются линейно
независимыми. Так как векторы А являются N-мерными, то из определения
опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать
М. Опорный план называется невырожденным, если он
содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется
вырожденным. . Оптимальным планом или оптимальным
решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий
наименьшее (наибольшее) значение линейной функции. В дальнейшем
рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с нахождением
минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное
значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной
функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на
противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное
значение исходной линейной функции. Рассмотрим задачу линейного
программирования, система ограничений которой задана в виде неравенств.
2 x x M1 j , удовлетворяющих ограничениям (1.6) и (1.7), называется решением.
Если система неравенств (1.6) при условии (1.7) имеет хотя бы одно решение, она
называется совместной, в противном случае - несовместной. x 2 M Это все равно, что в системе (1.6) - (1.7) положить N=2.
Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с
граничной прямой ,(i = 1, 2, ..., m). Условия
неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми
х = 0, х = 0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества,
пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и
представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются
решением данной системы (рис. 1.1). Совокупность этих точек (решений)
назовем многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, много-
угольником, неограничен-ной многоугольной облас-тью. Если в системе
ограничений (1.6) - (1.7) n = 3, то каждое нера-венство геометрически
представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость
которого a ,(i = 1, 2, ..., n), а условия
неотрицательности – полупрост-ранства с граничными плоскостями соответственно
х = 0 (j = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти
полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном
пространстве общую часть, которая называется .
Многогранник решений может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником,
многогранником, многогранной неограниченной областью. Пусть в системе
ограничений (1.6) - (1.7) n 3; тогда каждое неравенство определяет
полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью
a (i = 1, 2, ..., m), а условия
неотрицательности – полупространства с граничными гиперплоскостями х Если система ограничений совместна, то по аналогии
с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства,
называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются
решением. Таким образом, геометрически задача линейного
программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника
решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение,
причемдопустимыми решениями служат все точки многогранника решений. Графический метод основан на геометрической
интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при
решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного
простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который
образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства
размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно. Пусть
задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е.
ограничения содержат две переменные. 1 M2 Допустим,
что система (2.2) при условии (2.3) совместна и ее многоугольник решений
ограничен. Каждое из неравенств (2.2) и (2.3), как отмечалось выше, определяет
полуплоскость с граничными прямыми: a ,(i =
1, 2, ..., n), х =0. Линейная функция (2.1) при
фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии:
С = const. Построим
многоугольник решений системы ограничений (2.2) и график линейной функции (2.1)
при Z = 0 (рис. 2.1). Тогда поставленной задаче линейного прграммирования можно
дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой
прямая С = const опорная и
функция Z при этом достигает минимума. возрастают в направлении
вектора N =(С ), поэтому прямую Z = 0 передвигаем
параллельно самой себе в направлении вектора Х. Из рис. 2.1 следует, что прямая
дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках А и
С), причем минимальное значение принимает в точке А. Координаты точки А
(х Если многоугольник решений представляет собой неограниченную
многоуголь-ную область, то возможны два случая. = const,
передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно
пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к
нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как
сверху, так и снизу (рис. 2.2). Прямая,
пере-двигаясь, все же становится опорной относительно многоу-гольника решений
(рис. 2.2, а – 2.2, в). Тогда в зави-симости от вида области ли-нейная
функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (рис. 2.2, а),
ограниченной снизу и неограниченной сверху (рис. 2.2, б), либо ограниченной как
снизу, так и сверху (рис. 2.2, в). Решим графическим методом задачи использования
сырья и составления рациона. используют три
вида сырья: S . Запасы сырья,
количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукци, а так
же величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в
таблице 2.1. Запас
сырья S Необходимо составить такой
план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную
прибыль. 2 . Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на
изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему
ограничений: 2 которая
показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не
может превысит имеющихся запасов. Если продукция Р 0. То же самое получаем и
для продукции Р должно быть наложено ограничение неотрицательности: х Конечную цель решаемой задачи – получение
максимальной прибылипри реализации продукции – выразим как функцию двух
переменных х единиц продукции Р + 40х (план
выпуска продукции) могут быть и дробными числами. , при которых функция Z достинает максимум, т.е.
найти максимальное значение линейной функции Z = 50х + 5х Построим
многоугольник решений (рис. 2.3). на плоскости на плоскости изобразим граничные
прямые ) Взяв какую-
нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость
определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис. 2.3 показаны
стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный
пятиугольник ОАВСD. = 0 строим радиус-вектор N = (50;40) = 10(5;4) и через точку O
проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем
параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.3 следует, что
опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке С,
где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении
прямых L 8x 1 в линейную функцию, получаем Z Таким образом, для того чтобы получить максимальную
прибыль в размере 260,3 руб., необходимо запланировать производство 3,9 ед.
продукции Р При
откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 ед. питательного
вещества S . Для составления рациона используют два вида корма.
Содержание количества елиниц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и
стоимость 1 кг корма приведены в таблице 2.2. Количество единиц питательных веществ
Необходимо составить дневной
рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть
минимальными. соответственно количество
килограммов корма 1 и 2 в дневном рационе. Принимая во внимание значения,
приведенные в таблице 2.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой
питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не
меньше предусмотренного, получаем систему ограничений 2 =0; в противном случае
x 0. То есть должно выполняться
условие неотрицательности переменных: х Цель данной задачи – добиться минимальных затрат на дневной рацион,
поэтому общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции Z =
4х , при которых функция Z принимает минимальное.
Таким образом, необходимо найти минимальное значение линейной функции Z =
4х 2 Построим
многоугольник решений (рис. 2.4). Для этого в системе координат
х 1 3 Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую
полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис.
2.4 показаны стрелками). В результате получим неограниченную многоугольную
область с угловыми точками А, В, С, D. = 0 строим радиус-вектор N = (4;6) и через точку
O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем
параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.4 следует, она
впервые коснется многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в
угловой точе В. Если прямую перемещать дальше в направлении вектора N, то
значения линейной функции на многограннике решений возрастут, значит, в точке В
линейная функция Z принимает минимальное значение. . Для определения ее координат
решим систему уравнений = 2; х = 4 2 + 6 3 = 26.
Таким образом, для того, чтобы обеспечить минимум затрат (26 коп. в
день), необходимо дневной рацион составить из 2 кг корма 1 и 3 кг корма 2.
Вообще, с помощью графического метода может быть ре-
шена задача линейного программирования, система ограниче-ний которой содержит
n неизвестных и m линейно независи-мых уравнений, если N и M связаны
соотношением N – M = 2. Найти минимальное значение линейной функции Z =
С 11 (2.3)a . . . . . . . . . . . . . .
. где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N -
M = 2. Используя метод Жордана-
Гаусса, производим M исключений, в результате которых базисными неизвестными
оказались, например, M первых неизвестных х ,
т. е. система ограничений приняла вид (2.4)x . . . . . . . . . . .
. j С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную
функцию только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные
неизвестные - неотрицательные: х 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем
их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств. Таким образом,
окончательно получаем следующую задачу. при ограничениях
М+1 + a Преобразованная
задача содержит два неизвестных; решая ее графическим методом, находим
оптимальные значения x 2 Графическим методом найти
оптимальный план задачи ли-нейного программирования, при котором линейная
функция Z = 2х достигает максимального значения при ограничениях - х 3 Используя метод Жордана-Гаусса, произведем три
полных исключения неизвестных х - 3х + 5х -10х Подставляя эти значения в функцию и отбрасывая в системе
базисные переменные, получаем задачу, выраженную только через свободные
переменные х – 38 при ограничениях 5 Построим многогранник решений и линейную функцию в системе
координат х (рис. 2.5). Из рис. 2.5 заключаем, что
линейная функцияпринимает максимальное значение в угловой точке В, которая лежит
на пересечении прямых 2 и 3. В результате решения системы 4 Для отыскания оптимального
плана исходной задачи подставляем найденные значения х = 0, х Математические методы анализа
экономики /под ред. А.Я.Боярского. М.,Изд-во Моск. Ун-та, 1983 Ашманов С.А. "Линейное программирование",- М.: 1961
| |
