|
Геометрические характеристики поперечных сечений
Основы конструирования приборов
Реферат по теме
Геометрические характеристики поперечных сечений
Студента группы ИУ 3-32
Кондратова Николая
Статические моменты сечения
Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 1). Свяжем его с системой координат х, у и рас-
смотрим два следующих интеграла:
Рис. 1
(1)
где индекс F у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сече-
ния. Каждый из интегралов представляет собой сумму произведений, элементарных площадок dF на рас-
стояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется статическим моментом сече-
ния относительно оси х, а второй — относительно оси у. Размерность статического момента см3. При па-
раллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары парал-
лельных осей, x1, y1 и x2, y2.Пусть расстояние между осями x1 и x2 равно b, а между осями y2 и y2 равно а
(рис. 2). Положим, что площадь сечения F и статические моменты относительно осей x1 и y1, т. е. Sx1, и
Sy1 заданы. Требуется определить Sx2 и Sy2.
Очевидно, х2 = x1 — а, y2 = y1 — b. Искомые статические моменты будут равны
или
Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину, рав-
ную произведению площади F на расстояние между осями.
Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выражений:
Величина b может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно
подобрать (причем единственным образом) так, чтобы произведение bF было равно Sx1.Тогда статиче-
ский момент Sx2, относительно оси x2 обращается в нуль.
Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди се-
мейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, про-
извольно взятой, оси х1 равно
Рис. 2
Аналогично для другого семейства параллельных осей
Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Путем поворота осей
можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, ра-
вен нулю.
Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяже-
сти как точки приложения равнодействующих сил веса. Если уподобить рассмотренное сечение одно-
родной пластинке, то сила веса пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площа-
ди dF, а момент сил веса относительно некоторой оси — пропорционален статическому моменту. Этот
момент сил веса относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается,
следовательно, и статический момент относительно центральной оси.
Моменты инерции сечения
В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла:
(2)
Через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой сис-
теме координат х, y. Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относи-
тельно осей х и y соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции се-
чения относительно осей х, у. Размерность моментов инерции см4.
Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадь dF.
Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от
расположения сечения относительно осей х, у.
Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Будем
считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и y1. Требуется
определить моменты инерции относительно осей x2 и y2
(3)
Подставляя сюда х2 = x1 — а и y2 = y1 — b и раскрывая скобки (согласно (1) и (2)) находим
Если оси x1 и y1 — центральные, то Sx1 = Sy1 = 0. Тогда
(4)
Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей — центральная) осевые мо-
менты инерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между
осями.
Из первых двух формул (4) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент
инерции получается относительно центральной оси (а = 0 или Ь = 0). Поэтому легко запомнить, что при
переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются и величины
a2F и b2F следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к централь-
ным — вычитать.
При определении центробежного момента инерции по формулам (4) следует учитывать знак вели-
чин а и b. Можно, однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина Jxy при параллельном
переносе осей. Для этого следует иметь в виду, что часть площади, находящаяся в I и III квадрантах сис-
темы координат x1y1, дает положительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в II и
IV квадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать
знак слагаемого abF в соответствии с тем, какие из четырех слагаемых площадей увеличиваются и какие
— уменьшаются.
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Рис. 3
Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны момен-
ты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется опре-
делить Ju, Jv, Juv — моменты инерции относительно осей и, v, повернутых относительно первой системы
на угол ? (рис. 3).
Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекция ломаной линии равна
проекции замыкающей, находим:
u = y sin ? +x cos ?, v = y cos ? — x sin ?
В выражениях (3), подставив вместо x1 и y1 соответственно u и v, исключаем u и v
откуда
(5)
Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим, что сумма осевых моментов
инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла ? и при повороте осей
остается постоянной. При этом
x2 + y2 = ?2
где ? — расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис. 3). Таким образом,
Jx + Jy = Jp
где Jp— полярный момент инерции
величина которого, естественно, не зависит от поворота осей ху.
С изменением угла поворота осей ? каждая из величин Ju и Jv меняется, а сумма их остается неиз-
менной. Следовательно, существует такое ?, при котором один из моментов инерции достигает своего
максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.
Дифференцируя выражение Ju (5) по ? и приравнивая производную нулю, находим
(6)
При этом значении угла ? один из осевых моментов будет наибольшим, а другой — наименьшим.
Одновременно центробежный момент инерции JUV при указанном угле ? обращается в нуль, что легко
устанавливается из третьей формулы (5).
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты прини-
мают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются централь-
ными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относитель-
но главных осей называются главными моментами инерции. Для определения этого первые две форму-
лы (5) перепишем в виде
Далее исключаем при помощи выражения (6) угол ?. Тогда
Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний — минимальному. После
того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно уста-
новить, которой из двух осей соответствует максимальный и которой — минимальный момент инерции.
Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной .Центробежный момент инер-
ции части сечения, расположенной по одну сторону от оси, будет равен моменту части, расположенной
по другую сторону, но противоположен ему по знаку. Следовательно, Jху= 0 и оси х и у являются глав-
ными.
| |
