Лекция 5

4.4. Эллиптическое зеркало.
Уточненная формулировка принципа Ферма

    A                 B

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до некоторых двух точек (фокусов эллипса) постоянна. Благодаря этому зеркало, сечение которого представляет собой эллипс, оказывается исключительно интересным. При отражении от такого зеркала каждый луч, вышедший из фокуса A после отражения попадает в фокус B.
Мы рассматривали отражение от плоского зеркала, тогда путь распространения был минимальным. В случае эллиптического зеркала все пути распространения света одинаковы. Как и в случае плоского зеркала, отраженная волна представляет собой результат излучения колеблющихся электронов, колебания которых вызвала падающая волна Будем считать, что источник волн, излучатель находится в точке A. Но теперь вызванные движением разных электронов электромагнитные колебания в точке B будут происходить с одинаковыми фазами. Векторная диаграмма будет выглядеть иначе - отдельные векторы не будут повернуты один по отношению к другому, будут лежать на одной прямой.

    A                 B

             С
Естественно, при таком отражении для каждого луча также будет справедлив закон отражения.
Если кривизна зеркала в точке отражения будет больше кривизны эллиптического зеркала, длина пути распространения (длина ломаной ACB) будет не минимальной, а максимальной. Но отражение в точке C будет происходить так же, как от эллиптического зеркала. Это вынуждает нас уточнить формулировку принципа Ферма: для пути распространения света определяющей оказывается не минимальность, а экстремальность этого пути. Или же длина пути не должна изменяться при смещении точки отражения.
В этой связи можно провести такие более доказательные рассуждения.

 B”
    A              B

С    B’
Луч CB  проходит также через точки B’ и B”. И если длины разных лучей, приходящих из точки A в точку B одинаковы, такого утверждения нельзя сделать для точек B’ и B”. Соответственно, и векторные диаграммы для сложения колебаний от отдельных электронов в этих точках будут выглядеть иначе - эти векторы не будут выстраиваться по одной прямой, станут скручиваться в “клубки”. Попробуйте самостоятельно разобраться, какая из приведенных на рисунке диаграмм относится к точке B’, а какая к точке B”.

Если Вам понятен смысл векторных диаграмм, Вы поймете и то, что такое различие их вида означает весьма существенное различие амплитуд колебаний в точке B (амплитуда велика) и точках B’ и B” с другой стороны. Говорят, что свет “фокусируется” в точке B, в этой точке находится изображение источника света A. 

4.5. Сферическое зеркало

A   B

       R

C     F

     2q    R/2

 D  O
Свойством сферического зеркала является то, что после отражения от него лучи собираются в некоторой точке, называемой фокусом зеркала.

Рассмотрим падение плоской волны на сферическое зеркало радиуса R. При этом мы  ограничимся рассмотрением отражения параксиальных лучей, расстояние которых от оптической оси на малое расстояние, равное длине отрезка AB << R. В этом приближении угол падения q можно считать малым.
После отражения луч пересечет оптическую ось в некоторой точке F. При малых q будут справедливы выражения:

;   ,

из которых следует, что фокусное расстояние зеркала OF равно половине радиуса.
Собственно, мы решили задачу о сферическом зеркале. Но более важной задачей для нас является детальное знакомство с процессами излучения, распространения волн. Поэтому поговорим о процесс фокусировки подробнее.
  Y

d
      q      
Ранее мы получили связь между характером изменения фазы колебаний непрерывно расположенных точечных источников при переходе от точки к точке и направлением излучения q:

.

При малых значениях q будет:

.

 C

       R

      a  q

O
Применим это выражение к случаю отражения плоской волны от сферического зеркала. Обозначим на этот раз угол падения через a и вместо дифференцирования по y нам нужно будет провести дифференцирование фазы по расстоянию x(a) от точки O.

Почему при переходе от точки к точке вдоль поверхности зеркала изменяется фаза вызванных волной колебаний электронов? Видно, что чем дальше точка падения от центра зеркала, тем меньше путь луча, попадающего в эту точку. Если разность хода равна DL, то для подсчета разности фаз необходимо разделить эту величину на l и умножить на 2p. Таким образом (по модулю), 

;     .

Теперь мы можем найти зависимость угла направления излучения (по отношению к нормали, радиусу) от угла a:

;    .

Мы не получили нового результата. Как и должно быть, в чем мы убедились еще раз, угол отражения q равен углу падения a. Но для нас важно, что этот результат для отражения от сферического зеркала может быть получен и с помощью анализа зависимости фазы колебаний электронов, излучающих вторичную, отраженную волну, от x - расстояния от точки падения луча до оптической оси OC.

4.6. Параболическое зеркало

При отражении от сферического зеркала происходит фокусировка только параксиальных лучей. Попробуем теперь найти такое сечение зеркала, чтобы в его фокусе собирались все лучи независимо от расстояния до оптической оси.

     У

F
    f
   y
   x   0           X
Для определения вида сечения зеркала воспользуемся принципов ферма.
Пусть соответствующая кривая описывается функцией y(x), координаты точки падения x и y.  Обозначим буквой F фокус зеркала, его координата (фокусное расстояние) - f.
От точки падения луч пройдет до фокуса расстояние

.

Чтобы у всех параллельных лучей была одинаковая длина пути, необходимо чтобы выполнялось условие

 -

после пересечения с горизонтальной пунктирной линии до фокуса совпадающий с оптической осью луч пройдет сначала путь y до точки отражения и затем - f в обратном направлении. Этот путь должен быть равен L, Только в этом случае все лучи соберутся в фокусе зеркала.
Таким образом, мы получаем:

;
;
.

Это парабола и, значит, необходимым нам свойством обладает параболическое зеркало.

4.7. Закон преломления света

4.7.1. Скорость света в веществе

Мы с Вами убедились в свое время, что из уравнений Максвелла следует волновое уравнение. Электромагнитные волны с длиной волны примерно в пределах 0,4 ¸ 0,7 мкм, воспринимаемые глазом, называют светом. И среди множества веществ есть такие, в которых свет может распространяться без заметного уменьшения амплитуды электромагнитных колебаний, прозрачные вещества. Однако, скорость света в веществе отличается от скорости света в вакууме, выражение для которой  мы в свое время получили. Повторим теперь проведенные ранее преобразования уравнений Максвелла, но теперь не для вакуума, а для некоторого вещества.
Выпишем уравнения Максвелла для случая отсутствия свободных зарядов и токов проводимости:

Мы будем также использовать выражения

,

считая вещество однородным.

Как и раньше, ограничимся случаем плоской волны, когда электрическое и магнитное поля зависят от одной  координаты - от координаты x, т.е. в последующих выражения из производных по координатам отличны от нуля только производные по x:

.

Как видно из этого уравнения, . Это означает, что x - составляющая магнитного поля не зависит от времени. Положим ее равной нулю, поскольку стационарное поле (магнитное как и электрическое) к распространению волны отношения не имеет.
Далее, вектор  имеет некоторое направление, и если мы вдоль этого направления направим ось 0Z, то будет  и, следовательно,  (см. уравнение). Таким образом,
.                        (*)
Аналогично получим

;

(поскольку ) и

.                     (**)

Продифференцируем уравнение (*) по координате x, а уравнение (**) по времени:

.

Тогда
.

Мы получили волновое уравнение, и скорость распространения света в веществе . При распространении световой волны с большой степенью точности можно считать m = 1, и скорость света в веществе . Таким образом, для нахождения значения скорости v необходимо знать значение диэлектрической проницаемости e.
Заметим, что на больших частотах, характерных для световой волны, значение e существенно отличается от стационарного, которое входит в уравнения электростатики, и - зависит от частоты. Соответственно, от частоты зависит и (фазовая) скорость распространения световой волны в веществе. В таком случае говорят, что вещество обладает дисперсией.
Самым существенным, что происходит при взаимодействии поля  с веществом, это “подвижка” электронов, поляризация молекул. При этом поляризованность оказывается пропорциональной полю, что свидетельствует о квазиупругом характере действующих на электрон “возвращающих” сил. Поэтому при взаимодействии электронов со световой волной будет:

.

Этому уравнению удовлетворяет решение вида . Подставив x в уравнение, получим:

;        .

Итак, при смешении под действием электрического поля волны на электрон образуется диполь с моментом p = ex. Обозначив через N  концентрацию электронов, мы получим такие выражения для поляризованности , для поляризуемости вещества k и диэлектрической проницаемости e:
;
;      .

В зависимости от соотношения между w и w0 и от величины N величина e больше или меньше единицы и даже отрицательной. Соответственно мы должны сказать, что скорость света в веществе

будет либо меньше скорости света в вакууме, либо больше ее, либо мнимой. Эти возможности нам нужно будет обсудить более подробно. А пока сделаем одно уточнение.
В каком-то конкретном веществе входящие в атомы электроны могут иметь различные частоты свободных колебаний w0k, разными могут быть и их концентрации Nk. Все они будут вносить свой вклад в поляризованность вещества и, соответственно, в величину e. поэтому в более общем случае выражение для скорости волны запишется в виде

.

Таким получается выражение для фазовой скорости волны в веществе.