Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Физический
факультет
Кафедра
теоретической 
физики

Курсовая Работа

Тема:	Электрон в слое.

Руководитель работы: 

Климин С.Н.
Работу выполнил
студент 3-го курса:
Радченко Андрей

Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых  упрощений.
Она состоит в следующем : 
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
 
 2/(2m)2/x2  U0  ,  x < a
     
 H =	 2/(2m0)2/x2      ,  a < x < a

 2/(2m)2/x2  U0  ,  x > a

Где  m   -   эффективная масса электрона в областях I , III ;
         m0 -   эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

   2I/x2  2m/2(E  U0)I = 0    ,  x  a
   
   2II/x2  2m0/2EI = 0         ,  a  x  a

   2III/x2  2m/2(E  U0)I = 0	    ,  x  a

Область I :    

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx). 

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит, 

I(x) = Aexp(nx).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

II(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

III(x) = Fexp(nx).
Где 
		k = (2m0E/2)1/2
		n = (2m(U0E)/2)1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
•	Напишем систему из  4  уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
•	В этой системе из  4  уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты  A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
•	Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
   I(x=a) = II(x=a)
II(x=a) = III(x=a) 
     I(x=a)/m = II(x=a)/m0
   II(x=a)/m0 = III(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)
m1A nexp(na) = ik/m0(Cexp(ika)  Dexp(ika))
Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)
ik/m0(Cexp(ika)  Dexp(ika)) =  n/mFexp(na).

Теперь составим определитель :

|exp(na)	exp(ika)	exp(ika)	0	|
|m1nexp(na)	1/m0ikexp(ika)	1/m0ikexp(ika)	0	|
|0	exp(ika)	exp(ika)	exp(na)	|
|0	1/m0ikexp(ika)	1/m0ikexp(ika)	1/mnexp(na)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)2  (k/m0)2)Sin(2ka) + 2kn/(mm0)Cos(2ka) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно,  методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m0  n/m)/(n/m + ik/m0)}
D = Cexp(2ika)( ik/m0  n/m)/(n/m + ik/m0)
A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = RAF
C = RCF
D = RDF.
RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D.  А сделаем мы это с помощью условия нормировки. 
Действительно :

I(x) = FRAexp(nx)
II(x) = F( RCexp(ikx) + RDexp(ikx)).
III(x) = Fexp(nx).
I1 + I2 + I3 = 1

Где 
I1 = F2RA2exp(2nx)dx = F2RA2(2n)1exp(2nx) = 
= F2RA2(2n)1exp(2na)
I2 = F2{ RC2dx + RD2dx + RCRD*exp(2ikx)dx + 
+ RC*RDexp(2ikx)dx } = F2{ 2a(RC2 + RD2) + 
((exp(2ika)  exp(2ika))RCRD*/(2ik) + 
+ i((exp(2ika)  exp(2ika))RC*RD/(2k) }
I3 = F2exp(2nx)dx = F2(2n)1exp(2na)
F2 = { RA2(2n)1exp(2na) + 2a(RC2 + RD2) + 
((exp(2ika)  exp(2ika))RCRD*/(2ik) + 
+ i((exp(2ika)  exp(2ika))RC*RD/(2k) + (2n)1exp(2na) }1.
Теперь, когда мы знаем  F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек. 
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a)	(1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера. 
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

2/x2  2m/2(E  U0) = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем. 
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

 = exp(i 2ak)

Тогда (x+2ma) = (x)m ,	где  m=0, 1, 2,...		(2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси. 

Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2I/x2  2m2/2(E  U0)I = 0    ,  0 > x > a

его решение выглядит просто:

I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx). 

Где n = (2m2 (U0-E) /2)1/2

Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2II/x2  2m1/2E II = 0    ,  a  x  0

его решение выглядит просто:

II(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx). 

Где  p = (2m1E/2)1/2

Рассмотрим область III:

2III/x2  2m2/2(E  U0)III = 0    ,  2a > x > a

его решение выглядит просто:

III(x) =  (Aexp(nx) + Bexp(nx)). 
Запишем граничные условия: 

I(x=0) = II(x=0)
II(x=a) = III(x=a) 
     I(x=0)/m = II(x=0)/m0
   II(x=a)/m0 = III(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D: 

A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1	1	1	1	|
|exp(ik2ana)	exp(ik2ana)	exp(ipa)	exp(ipa)	|
|n/m2	n/m2	ip/m1	ip/m1		|
|n/m2exp(ik2ana)	n/m2exp(ik2ana)	 ip/m1exp(ipa)	ip/m1exp(ipa)	|

и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10;	U=10;		m1=4;		m2=1
  
0.1135703312666857	    0.6186359585387896	    0.2019199605676639	
   0.3155348518478819	    0.05047267055441365	    1.263391478912778	
   0.4544326758658974	    2.137353840637548	    0.808172718170137	
   2.479933076698526	    0.4544326758658974	    6.168062551132728	
   5.611693924351967	    1.820461802850339	    1.529165865668653	
   1.023077302091622			

a=10	U=10		m1=2		m2=1
  
 0.1032788024178655	0.2324238959628721	0.41331603936642	
 0.6460490460448886	0.930750939555283	1.26759057783714	
 1.656787195799296	2.098624192369327		
 2.593469359607937	3.141805331837109		
 3.744277072860902	5.887485640841992         		
a=10	U=10		m1=1		m2=1

0.05408120469105441	0.2163802958297131	0.4870681554965061	
0.86644533469418	1.354969224117534	1.953300729714778	
2.662383817919513	4.418966218448088	7.961581805911094 	

a=10	U=10		m1=0.5	m2=1

0.118992095909544	 4.249561710930034	1.068004282376146	
0.4754473139332004	 5.78216724725356	2.955345679469631	
1.895012565781256			

a=10	U=10		m1=.25	m2=1

0.2898665804439349	 4.30026851446248	
2.479039415645616	1.132264393019809