ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПЯТИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПО КАЛЬМАРУ

Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования 
Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару 
L 1 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования 
L 2 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, 2 x ,S, а также конечного применения операции суммирования 
L 3 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, 2 x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации 
L 4 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x+y 2 x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии 
L 5 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования 
Доказательство будем проводить по следующей схеме: 
1. L 1 L 2 L 3 L 4 L 1 
2. L 1 L 5 
3. L 5 L 3 
Докажем, что L 1 L 2 (для этого выразим 2 x через функции L 1 ) 

Докажем, что L 2 L 3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L 2 ) 

Пусть 
тогда 

Докажем, что L 3 L 4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L 3 ) 

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя 

Пусть 
тогда 

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару 
Докажем, что L 4 L 1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L 4 ) 
Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию 

Где (x,y)-к-ступенчатая функция 
Выразим суммирование через ограниченную рекурсию 

Докажем, что L 1 L 5 (для этого выразим x*y через функции L 5 ) 

Докажем, что L 5 L 3 (для этого выразим 2 x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L 5 ) 

Пусть 
тогда 

Эквивалентность классов доказана