СИСТЕМА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ АРИСТОТЕЛЯ

Аристотель родился  в  384 г.  д.н.э.  в греческом городе Стагире.  Глубокое  провинциальное  происхождение  Аристотеля компенсировалось  тем,  что  он  был  сыном  известного врача Никомаха. Быть  врачем  означало  в  Древней  Греции  занимать большое  общественное положение,  и Никомах был известен всей Македонии.    Аристотель, по   словам   очевидцев,   с   молодости  был невзрачного вида. Худощавый, имел худые ноги,  маленькие глазки и шепелявил. Но зато любил одеться, носил по несколько дорогихперстней и делал необычную  прическу.  Воспитываясь  в  семье врача, и поэтому сам занимаясь медициной, Аристотель, однако, не стал профессиональным врачем.  Но  медицина  осталась  для него  на всю жизнь настолько родной и понятной областью,  что впоследствии в своих труднейших философских трактатах он дает пояснения  на  примерах  из  медицинской практики.  Приехав с севера Греции,  Аристотель в самом раннем возрасте (в 17лет ) вошел   в   школу   Платона. Он   был   сперва  принципиальным платоником,  а впоследствии отошел  от  строгого  платонизма. Первые  сочинения  Аристотеля в стенах Платоновской Академии, куда   он   поступает,   отличаются   склонностью    его    к риторике,которой  он  впоследствии прозанимался всю жизнь.  В 364 году до н.э.  Аристотель встречается с  Платоном,  и  они общались  до  самой  смерти Платона,  т.е.  в течении 17 лет. Аристотель  представлялся  Платону  ретивым  конем,  которого приходится   сдерживать  уздой.Некоторые  античные  источники прямо говорят не только о расхождении,  но и даже о неприязни между двумя философами. Платон сильно не одобрял свойственной Аристотелю  манеры  держать   себя   и   одеваться. Аристотель придавал  большое  внимание  своему  внешнему виду,  а Платон считал, что это неприемлемо истинному философу. Но Аристотель по  -  видимому  еще  и  дерзко  нападал  на  Платона,  что в дальнейшем  привело  к   созданию   Аристотелем   собственной школы. За  все  эти  споры,  добродушный  Платон  сказал,  что "Аристотель меня брыкает,  как сосунок жеребенок свою мать".В Платоновской   школе  Аристотель  получает  важнейшие  основы знаний, обладая которыми, впоследствии, он открывает напротив Платоновой  свою  собственную  школу,  и  становится завзятым противником  своего  учителя. Имя Аристотеля в мировой литературе непосредственно связано с именем Платона. Попробуем рассмотреть философию  Аристотеля  и соотнести ее с философией Платона. Центральная идея философии Платона - эйдос  -  перешла  к  Аристотелю  почти  целиком. Ни Платон,  ни  Аристотель  не  мыслит  вещей  без их идей,  или эйдосов. Вся философия Сократа, а затем и Платона проистекала из   практики  и  жизненной  необходимости,  выходя  в  чисто теоретическую область лишь в  высшем  своем  проявлении  -  в учении  об  идеях.  По  Платону,  мир вещей ,  воспринимаемый посредством  чувств,  не  есть  мир  истинно   существующего: чувственные вещи непрерывно рождаются и погибают, изменяются и движутся,   в   них   нет   ничего   постоянного,   прочного, совершенного  и истинного. И все же вещи не полностью отделены от истинно существующего,  они все каким-то образом причастны ему. А именно: всем, что в них есть истинно сущного, утверждает Платон, чувственные вещи обязаны своим причинам. Эти причины  - формы вещей,  не воспринимаемые чувствами, постигаемые только умом, бестелесные и бесчувственные. Платон называет их "видами" или  гораздо  реже  "идеями". "Виды", "идеи"  зримые умом формы вещей. Каждому классу предметов чувственного  мира,  например классу  "коней"  соответствует  в  бестелесном мире некоторый "вид", или "идея" - "вид" коня, "идея" коня. Этот "вид" уже не может  быть постигаем чувствами,  как обычный конь,  но может быть  лишь  созерцаем  умом,   к   тому   же   умом,   хорошо подготовленным к такому постижению.  Эти "идеи" или, "эйдосы" не рождаются,  не умирают,  не переходят не  в  какое  другое состояние. Существует "царство идей"  
 1.Идеи высших по ценности категорий  бытия.  Сюда  входят такие понятия, как красота, справедливость, истина.   
2.Движение физических явлений - идеи движения, покоя, света, звука и т.п.   
3.Идеи разрядов существ - идеи животного, человека.   
4.Идеи для предметов производимых человеческими усилиями  - идеи  стола, кровати   и   т.п.   
5.Идеи  науки  -  идеи  чисел,  равенства, отношения. Принципы существования идей:  а)идею делает идея;  б)идея является образцом ,  взирая на которые, Демиур творил мир вещей;  в) идея является  целью,  к  которой  как  к  высшему  благу стремится  все существующее.  Мир вещей и мир идей объединяет душа Космоса.  Она заставляет идеи присутствовать в  вещах  и наоборот. Между миром вещей и миром идей - божество - Демиур. 
Аристотель решительно  критикует  принципиальный  отрыв  идеи вещи от самой вещи. Идея вещи, по Аристотелю находится внутри самой же вещи. Тезис о пребывании идеи вещи  внутри  самой  же вещи  есть  то  основное и принципиальное,  в чем заключается основное  различие  между  Платоновской   и   Аристотелевской школах. Идея вещи, по Аристотелю ,обязательно есть некоторого рода общность,  т.е.  эйдос во всех смыслах.  Но  эйдос  вещи ,есть  не  только  обобщенность  ее  отдельных элементов.  Он предстакляет собой еще и  нечто  единичное. Этой  единичностью данный   эйдос   вещи  отличается  от  других  эйдосов,  и  , следовательно,  от всяких других вещей.  Эйдос  вещи,  будучи некой  общностью  и  некой единичностью,  в то же самое время является  и   определенного   рода   цельностью.   Совершенно невозможно   отрывать   общее   от  единичного и, единичное  от общего. Т.е. удалив какой-то один момент цельности , тем самым мы  ликвидируем  саму  цельность. Сняв, к примеру крышу с дома, дом перестает быть цельным,  и  собственно  говоря  перестает быть  домом. Свое учение о вещи как организме Аристотель излагал много раз и  разными  способами. Он  выделяет  четыре причины, или четыре принципа любой вещи , понимаемой как организм. 
Первый принцип  - о том,  что эйдос вещи вовсе не является ее за небесной  сущностью,  но  такой   ее   сущностью,   которая находится  в ней же самой и без которой вообще нельзя понять, что такое данная вещь. 
Второй принцип  затрагивает  материю  и форму.  Кажется,  что материя и форма - обычное и всем понятное  противопоставление, и  кажется  здесь  даже не о чем говорить.  К примеру материя этого стола есть дерево. А форма этого  стола  есть  тот  вид, которые  приняли  деревянные  материалы  ,  обработанные  для определенной цели. Кажется,  что  все  здесь  очень  просто  и понятно. Тем   не   менее   эта  проблема  являлась  одной  из глубочайших философских проблем Аристотеля. Ведь у  Аристотеля материал   вовсе   не   просто   только  материал. Материал  у Аристотеля  уже  имеет  собственную  форму. Все,  даже   самое сумбурное, беспорядочное,   бесформенное   и   хаотичное   уже имеет свою собственную форму.  Облака и тучи  во  время  грозы выглядят абсолютно бесформенно. Однако если туча не обладала в самом деле никакой формой,  то как бы она могла быть для  нас какой-то  познаваемой вещью.  Отсюда Аристотель делает вывод, что  материя  вещи  есть  только  еще  самая  возможность  ее оформления,  и  возможность  эта - бесконечно разнообразная. И тем не  менее  без  материи  эйдос  оставался  бы  только  ее отвлеченным  смыслом, без  всякого  воплощения  этой  мысли  в действительности. Только полное отождествление материи вещи  с ее  эйдосом  делает  вещь  именно  вещью. Эйдос и материю умел различать и Платон, и совсем неплохо их отождествлял, но то , что сделал Аристотель в этой области , является почти , можно сказать революцией в отношении  платонизма. Из  тех  философов античности,  кто  различал  форму  и материю,  Аристотель был самым глубоким и самым тонким их отождествителем.  Материя не есть  эйдос  ,  ни  эйдос  вообще,  ни  какой-нибудь  эйдос в частности. По Аристотелю,  только космические сферы выше  Луны являются   эйдетически  полноценными. А  то,  что  совершается внутри лунной сферы,  в  подлунной,  это  всегда  частично  и несовершенно.   а  иной  раз  и  совсем  уродливо.  Если  где Аристотель и выступает,  как принципиальный материалист, т.е. проповедует  материю  в  качестве  принципа  живой реальности существующего вокруг нас мира,  то  лишь  в  своем  учении  о материи в виде царства случайности. По Аристотелю, движение -это вполне специфическая категория и ровно ни на  что  другое не сводимая. Таким образом,  по Аристотелю,  движение является такой  же  основной  категорией,  как   и   материя   и   как форма. 
Аристотель  ставит вопрос о возможности самой категории движения.  Он выделил четыре  принципа  существования  всякой вещи  как организма :  материя,  форма,  действующая причина. Последним принципом существования всякой  вещи  по  Аристотелю является  цель. Цель  -  специфическая  категория,  ни  на что другое    не    сводимая.    Аристотель     своей     теорией четырехпринципной  структуры  вещи  исходил  исключительно из того,  что каждая вещь есть  результат  творчества. Причём  не важно,   хорошее   ли   это   произведение  или  плохое.  Всё многообразие вещественного мира,  по Аристотелю,  основано  на разных  соотношениях эйдоса (формы,  или идеи) и материи в их причинно  -  следственном   воплощении.   Переходу   к   миру одушевлённых существ, мы видим у Аристотеля и здесь на первом плане четырёхпринципную структуру.  
Аристотель различает  три типа    души    -    растительную,    ощущающую(животную)   и разумную. Разумная душа  тоже  имеет  и  свой  эйдос,  и  свою материю,  и  причинно - целевую направленность.  Эйдос живого тела есть принцип его жизни,  т.е.  его душа.  А всякая  душа движущая  телом,  тоже имеет свой собственный эйдос,  который Аристотель называет Умом. Так что душа, по Аристотелю, есть не более,  чем  энергия  Ума.  А  Ум  есть эйдос всех эйдосов. По Аристотелю Ум и есть высшая степень бытия. Этот  Ум  ,  будучи наивысшей степенью бытья в целом, является у Аристотеля,  если сказать кратко,  предельным  понятием  вообще.  Он  -  "эйдос эйдосов". Ум  взятый сам по себе,  уже ровно ничем ни связан и зависит только  от  самого  себя.  В  этом  смысле  он  вечно неподвижен.  
Аристотель  считает,  что  Ум,  несмотря  на всю свободу  от  умственной  материи, содержит  свою  собственную, чисто   умственную   материю,   без  которой  он  не  был  бы художественным произведением. Никакие философы  до  Аристотеля не  допускали  в  Уме существование материи. Никто так остро и принципиально не  противопоставлял  материю  и  Ум,  как  это сделал  Аристотель.  
Аристотель  создал  три  концепции Ума - перводвигателя.  Первая концепция -  чисто  платоническая. Она сводится  к  тому,  что Ум является наивысшим и окончательным бытиём.  Ум - есть не что иное,  как  царство  богов  -  идей высших,  или над космических,  низших, или звёздных. Во второй концепции ,  Ум у Аристотеля есть мышление, и мышление самого же  себя,  т.е.  "мышление  мышления". Ум содержит в себе свою собственную умственную материю,  которая даёт ему возможность быть вечной красотой (т.к.  красота есть идеальное совпадение идеи  и  материи).   Третья   концепция   Аристотеля   сильно отличается  от  Платоновской.  У  Платона  космосом управляет Мировая  душа.  У  Аристотеля  же  это  -  Ум, который  движет решительно  всем  ,  и  поэтому  он  есть  жизнь  как  вечная энергия." Если Ум  по  Аристотелю  ,  есть  всеобщая  цель,  и поэтому всё его любит ,  то сам он ,  будучи целью не то, что вообще никого не любит,  но поскольку всё  вообще  любит  его самого, Ум, несомненно, тем более  должен  любить  самого  себя."         Аристотель говорил: "Платон мне друг, но истина дороже" И вся жизнь  Аристотеля  состояла  в  бесконечном  стремлении найти,   проанализировать,   схватить  истину , докопаться до смысла  окружающего  мира.  В  своих  зоологических трактатах Аристотель  устанавливает  и  характеризует  более  400  видов животных. 
Он  описал  158  различных  греческих  и негреческих законодательств. Вся V    книга    его    основного    трактата "Метафизика" специально посвящена философской терминологии,  и каждый  термин у него выступает в 5 - 6 значениях.  Аристотель был сильным человеком.  И когда оказалось,  что  деваться  уже некуда, и с ним могут расправиться как до этого с Сократом он, как  можно  предполагать,  принял   яд. Так   кончилась   жизнь Аристотеля. И всё же его искания, вся его жизнь свидетельствуют о небывалом мужестве великого человека, для которого даже сама смерть стала актом мудрости и невозмутимого спокойствия.
     К. Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н.э.) "величайшим философом древности".  Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники,  политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции,  получили у Аристотеля полное  и  всестороннее освещение. В математике он, по-видимому,  не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического  познания  были подвергнуты им глубокому философскому анализу,  послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков.     Ко времени  Аристотеля  теоретическая  математика прошла значительный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа  математического познания,  Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности,  включающего два основных раздела: "образованность" и "научное знание дела". Среди известных сочинений Аристотелянет специально посвященных изложению методологических проблем  математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математического материала в качестве иллюстраций общих методологических положений можно составить представление о том, каков был его идеал построения системы математических знаний.     Исходным этапом познавательной деятельности, согласно Аристотелю, является обучение,  которое "основано на (некотором)  уже  ранееимеющемся знании... Как математические науки, так и каждое из прочихискусств приобретается (именно) таким способом".  Для отделения знания от  незнания Аристотель предлагает проанализировать "все те мнения, которые по-своему высказывали в этой области некоторые мыслители" и обдумать возникшие при этом затруднения. Анализ следует проводить с целью выяснения четырех вопросов:  "что (вещь)  есть,  почему(она) есть, есть ли (она) и что (она) есть".     Основным принципом, определяющим всю структуру "научного знания дела", является  принцип  сведения всего к началам и воспроизведения всего из начал.  Универсальным процессом производства знаний из  начал, согласно Аристотелю, выступает доказательство. "Доказательством же я называю силлогизм,  - пишет он, - который дает знания". Изложению теории  доказательного знания полностью посвящен "Органон" Аристотеля. Основные положения этой теории можно сгруппировать в  разделы, каждый  из которых раскрывает одну из трех основных сторон математики как доказывающей науки:  "то, относительно чего доказывается,то, что  доказывается и то,  на основании чего доказывается".  Таким образом, Аристотель дифференцированно подходил к объекту, предмету и средствам доказательства.     Существование математических объектов признавалось  задолго  до Аристотеля, однако пифагорейцы,  например, предполагали, что они находятся в чувственных вещах,  платоники же, наоборот, считали их существующими отдельно. Согласно Аристотелю:     
1. В чувственных вещах математические  объекты  не  существуют, так как "находиться в том же самом месте два тела не в состоянии";     
2. "Невозможно и то,  чтобы такие реальности существовали  обособленно".     Аристотель считал предметом математики "количественную  определенность и  непрерывность".  В его трактовке "количеством называется то, что может быть разделено на составные  части,  каждая  из  которых ...является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество,  если его можно счесть,  это величина,  если  его можно измерить".  Множеством при этом называется то,  "что в возможности (потенциально) делится на части не  непрерывные,  величиною  то, что  делится на части непрерывные".  
Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает  понятие  бесконечного,  так как "оно относится к категории количества" и проявляется прежде всего в непрерывном.  "Что бесконечное существует,  уверенность в  этом возникает у  исследователей  из пяти оснований:  из времени (ибо оно бесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее.  Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так  как необходимо,  чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего на том основании,  что мышление не останавливается: и  число кажется бесконечным,  и математические величины".
Существует ли бесконечное как отдельная сущность  или  оно  является акциденцией величины или множества?  Аристотель принимает второй вариант, так как "если бесконечное не есть ни величина,  ни множество, а само является сущностью..., то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной,  или множеством.  Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца". Невозможность математического бесконечного как неделимого следует из того,  что  математический объект - отвлечение от физического тела, а "актуально неделимое бесконечное тело не существует". Число "как что-то отдельное и в то же  время бесконечное" не существует,  ведь "...если возможно пересчитать числимое,  то будет возможность пройти до конца и  бесконечное". Таким  образом,  бесконечность здесь в потенции существует, актуально же - нет.
     Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного,  Аристотель определяет непрерывность и прерывность.  Так, "непрерывное есть само по себе нечто смежное. 
Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его". Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц.
Геометрическим аналогом единицы является точка;  при этом соединение точек не может образовать линию, так как "точкам, из которых было бы составлено непрерывное,  необходимо или быть непрерывными,  или  касаться друг друга".  Но непрерывными они не будут:  "ведь края точек не образуют чего-нибудь единого,  так как у неделимого нет ни  края, ни другой  части".  Точки не могут и касаться друг друга,  поскольку касаются "все предметы или как целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного".
     Невозможность составления непрерывного из неделимых и  необходимость его деления на всегда делимые части, установленные для величины, Аристотель распространяет на  движение,  пространство  и  время, обосновывая (например,  в "Физике") правомерность этого шага. С другой стороны,  он приходит к выводу,  что признание неделимых величин противоречит основным  свойствам движения.  Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметики от геометрии.     "Началами... в  каждом роде я называю то,  относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять,  другое - следует доказать.  Например,  что  такое единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина  существует,  также  следует  принять, другое - доказать". В вопросе о появлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона о  врожденности таких способностей,  но и не допускает возможности приобретения их;  здесь он предлагает следующее решение:  "необходимо обладать некоторой возможностью,  однако не такой,  которая превосходила бы эти способности в отношении точности". Но такая возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают прирожденной способностью разбираться,  которая называется  чувственным восприятием. Формирование начал идет "от предшествующего и более известного для нас", то есть от того, что ближе к чувственному восприятию к  "предшествующему и более известному безусловно" (таким является общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из разных признаков.
     Во-первых, он выделяет "начала, из которых (что-либо) доказывается, и такие,  о которых (доказывается)".  Первые "суть общие (всем начала)", вторые - "свойственные (лишь данной науке), например, число, величина".  В системе начал общие занимают ведущее место,  но их недостаточно, так как "среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать все". Этим и объясняется, что среди начал должны быть "одни свойственны каждой науке в отдельности, другие общие всем". Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование объекта или наличие у него некоторых свойств.  В-третьих,  комплекс начал доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные определения.
     Выбор начал  у Аристотеля выступает определяющим моментом построения доказывающей науки;  именно начала  характеризуют  науку  как данную, выделяют  ее  из ряда других наук.  "То,  что доказывается", можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий силлогизм и его заключения.  Из этих элементарных процессов строится здание доказывающей науки в виде отдельно  взятой  теории. Из них же создается и наука как система теорий.  Однако не всякий набор доказательств образует теорию.  Для этого он должен  удовлетворять определенным требованиям,  охватывающим как содержание доказываемых предложений,  так и связи между ними. В пределах же научной теории  необходимо  имеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теории.
     Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены Аристотелем  в какой-то отдельной работе,  но по содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля  лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира.  Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с  платоновым идеализмом;  ведь "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое,  то каким образом  возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным,  в целом  его  воззрения  в большей степени  соответствовали потребностям математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним  из источников формирования ряда разделов его философской системы.