РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. ФОРМАЛЬНОЕ ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k 
Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме 
Теорема. Пусть p k[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)   k[x]/(p) 
Доказательство. Определим отображение :k[x]   k(U)   формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент V k(U) может быть записан в виде многочлена от U,   сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)   k[x]/Ker . Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)   Ker . Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker   (p) 
Следствие. Если   и   корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k( ) и k( ) изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя 
Замечание. Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень   неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]   F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что F k(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю   называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена 
Примеры 
Пусть k = Q, U = . Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k( U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так 
Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , b GF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bd и остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.   Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1) 
Поле разложения многочлена 
Пусть p k[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p = . Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле , в котором p = (x-a) , где многочлены неприводимы над . Теперь присоединим к корень многочлена и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p= 
Определение 
Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни многочлена p: K = k( ) 
Примеры 
У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q( ) -поле разложения многочлена Q[x], Q( ) - поле разложения многочлена Q[x], GF(4) - поле разложения GF(2)[x] 
Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле =Q( ) таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q   неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину , где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку , достаточно присоединить . Первое расширение имеет базис 1, , . Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения,   базис K над Q составляют элементы: 1, , , , , и [K:Q] =6. Заметим, что   = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K 
Замечание 
Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма 
Строение конечных полей 
Теорема о количестве элементов конечного поля.       
Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит   элементов 
Доказательство 
Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде: , где k. Отсюда и вытекает наше утверждение 
Следствие 
Количество элементов конечного поля k   характеристики p равно . В самом деле, k GF(p) 
Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение K GF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение 
Теорема существования для конечных полей    
Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из   элементов 
Рассмотрим теперь многочлен t = , где q =   над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле,   , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней 
Теорема.    
Множество T = { } K является полем из q элементов 
Доказательство. Надо проверить, что и   1. , Но . Значит, 
2. 
Следствие. Поле T из элементов является полем разложения многочлена   над GF(p) 
Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа   в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF( ) 
Пусть теперь K любое поле из   элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого , а потому   для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент x K удовлетворяет уравнению =0   и K GF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем: 
Теорема. Любое конечное поле изоморфно GF( ) 
Следствие. Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d = 
В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF( ) и неприводимый многочлен s делит d 
Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s 
Следствие 
Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF( ).   Многочлен s не имеет корней в полях GF( ) при l<n 
Теорема о подполях конечных полей. Если k GF( ), то k GF( ),   причем m | n. Обратно, для всякого делителя m числа n в поле GF( ) существует единственное подполе из   элементов 
Доказательство. Поскольку k имеет характеристику p оно состоит из q =   элементов. Поле GF( ) можно рассматривать как расширение степени l поля   k и, следовательно оно состоит из элементов, так что n = ml. Обратно, поскольку k GF( ), всякий его элемент удовлетворяет уравнению = x. Это уравнение имеет не более корней в поле GF( ), и значит если такое   подполе существует, его элементы определяются однозначно. Остается доказать, что при n = ml уравнение   = x имеет ровно корней в GF( ). Проверим, что . Обозначим и заметим, что число целое. Имеем: .Так как y =1 корень числителя, то деление выполняется нацело. Поскольку в поле GF( ) многочлен распадается, то же верно и для его делителя и потому этот многочлен имеет корней 
Теорема о действии автоморфизма Фробениуса. Автоморфизм Фробениуса Ф:   циклически переставляет корни любого неприводимого многочлена степени n над GF(p) 
Доказательство. Пусть s заданный многочлен и a один из его корней. Тогда Ф Достаточно проверить, что все элементы a, Ф(a), ...., Ф попарно различны. Допустим, что Ф (a)= Ф (a), то есть , где i<j<n. Обозначим v = i- j+n. Возводя обе части полученного равенства в степень , получаем: . Таким образом a содержится в поле разложения многочлена , то есть в GF( ). Поскольку v<n это невозможно.    
Расширения полей. Присоединение элементов большего поля 
Если   k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику 
Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами: 
Относительно сложения векторы образуют абелеву группу 
a(U+V) = aU+aV 
(a+b)U = aU+bU 
a(bU) = (ab)U 
1U =U 
Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения   и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным 
Примеры 
Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2 
Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему   вещественных чисел. Положим , , ,..., . Пусть для некоторых рациональных   выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q =   имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение 
Теорема о степени составного расширения 
Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k] 
Доказательство 
Пусть   - базис K над F, а   - базис F над k.   Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где   . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если 
=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого 
i= 1,...,n имеем = 0. Но линейно независимы над k и потому все 
Расширение посредством присоединения элементов.    
Пусть дано поле k и элементы , принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе   поля K, содержащее поле k и все элементы   обозначается k( ) и называется расширением k посредством присоединения элементов . Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения 
Примеры 
Если все , то k( )=k 
Если k=R, U=a+bi C, причем b 0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qi R(U) 
3. Поле Q( ) содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать   в виде a+b , где a,b Q 
Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q( ) =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда 
a) T содержит 0 и 1 
b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s 
c) Вместе с любыми двумя элементами t и s 0 T содержит их частное t/s 
Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо ”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b )/(c+d ). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d . Итак, [Q( ):Q]=2 и базис составляют элементы 1 и 
4. Поле Q( ) содержит . Но тогда оно должно содержать также и , а значит и все числа вида a+b +c , где a,b,c Q. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, , над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби (a+b +c )/( d+e +f ). Это можно проделать, используя тождество: -3xyz= (x+y+z)(   -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e , z=f и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q( ) :Q]=3 и базис составляют элементы1, , 
Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента 
В связи с этим дадим следующее определение. Пусть k K   и U K. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома p k[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом.   Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен s k[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наименьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k 
Примеры 
Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R:   =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2 
, - алгебраические элементы над Q.   Они являются корнями неприводимых уравнений -3=0 и -2=0 соответственно, так что их степени - 2 и 3 
Можно доказать(весьма непросто!), что числа и е трансцендентны над полем Q 
Строение простых алгебраических расширений 
Теорема. Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U, 
Доказательство. Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть p k[x] - минимальный многочлен элемента U. Тогда = . Умножая обе части этого равенства на , получаем, что при m n выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U,...,   линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={ } является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/ Положим: q= . Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x=   s(U)   k 
Пример 
Пусть k=Q, U= . Тогда , откуда =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= +1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x= . Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U= , , . Вместо них в базис можно включить 1, , , . Отсюда вытекает, что Q( )=Q( ) и таким образом присоединение двух элементов и равносильно присоединению единственного элементa . Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент 
Мультипликативная группа поля 
Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична 
Доказательство. Проведем доказательство от противного. Пусть   - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого   (а всего в H   элементов ) имеем: . Поэтому уравнение   в поле k имеет не менее     корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n < 
Следствие. Мультипликативная группа конечного поля циклична 
Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p) . Образующие элементы группы   называются первообразными корнями по модулю p . В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям: 
Модуль 	3 	5 	7 	11 	13 	17 	19 	23 	29 	31 	37 	41 	
Первообразный корень mod(p) 													
  Неприводимые многочлены над некоторыми полями 
Поле комплексных чисел C . Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени 
Поле вещественных чисел R . Чтобы перейти от поля C   к полю R , заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число   является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого   и всякого     имеет место формула: = ( ), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь   - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x   -   ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на   ( x - ) и на ( x   -   ) следует его делимость на их произведение   . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы 
Поле рациональных чисел Q 
Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать:   q = ( ) =   , где все коэффициенты   целые числа, ОНД( ) = 1 и , >0 . Легко видеть, что многочлен   и число   определены однозначно. Будем   называть   примитивным многочленом, соответствующим многочлену q 
Лемма: 
Для всякого целочисленного многочлена w =   и простого числа p обозначим через   многочлен над полем GF(p) , коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение   является   гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x] . Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда   для любого p   . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы 
Таким образом вопрос о приводимости многочлена   над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости: 
Критерий Эйзенштейна 
  Если для многочлена q с целыми коэффициентами       q = удается найти такое простое число p , что 
1.ОНД( p , ) = 1 
2 
3.   не делит , то этот многочлен неприводим 
Доказательство. Предположим, что q приводимый многочлен : q = uv . Тогда . По условию теоремы = a , где a 0 . Значит, , , где k<n и m<n . Поэтому все коэффициенты многочленов u и v , кроме старших, делятся на p , а тогда свободный член многочлена q , ( то есть ),   равный     делится на   , что противоречит условию 
Примеры 
Многочлен     неприводим над полем Q . Достаточно взять p = 3 и применить критерий Эйзенштейна 
Для всякого n>0 многочлен     неприводим над Q . Достаточно взять p=2 в предыдущей теореме. Отсюда вытекает, что над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени 
Случай конечного поля GF(q) 
Особенностью этого случая является тот факт, что имеется только конечное число многочленов данной степени и,   в частности, неприводимых многочленов. Будем рассматривать унитарные многочлены степени n над GF(q) . Такой многочлен имеет вид: , где , . Значит, количество таких многочленов Обозначим через   количество унитарных неприводимых многочленов степени n . Можно указать алгоритм, позволяющий последовательно перечислять все такие многочлены   в порядке возрастания их степеней. Для n=1 все многочлены ( x - a )   неприводимы, поэтому . Если все неприводимые многочлены степени меньше n уже перечислены, составим всевозможные произведения некоторых степеней таких многочленов, так чтобы эти произведения имели степень n . Все те многочлены степени n , которые не вошли в это множество, и будут неприводимыми многочленами степени n . Разумеется, практическое применение этого алгоритма требует умения совершать арифметические действия в поле GF(q) . Кроме того, количество вычислений быстро растет с ростом n (а также q ) . В следующей таблице указаны некоторые неприводимые многочлены над полями GF(p) для простых p = 2,3,5 
  	P=2 	p=3 	p=5 	
	1 	3 	10 	
Пример непр. многочлена   ст. 2 				
	2 	8 	40 	
Пример непр. многочлена   ст. 3 				
	3 	18 	150 	
Пример непр. многочлена   ст. 4 				
Можно также указать способ вычисления числа . Обозначим через ,   набор всех неприводимых унитарных многочленов степени n над полем GF(q) , а через ,   набор всех вообще унитарных многочленов степени n над тем же полем. Рассмотрим следующее выражение: 
(Здесь и далее автор использует сокращенные обозначения. Настоятельно советуем читателю для большей наглядности использовать развернутую запись.) F = . Здесь количество слагаемых в каждой скобке и 
количество самих скобок выбрано таким образом, чтобы степень каждого многочлена, входящего в F была не выше n . Если раскрыть все скобки то получится сумма всевозможных выражений вида: , где m - степень выписанного многочлена и все . Соберем вместе в сумму   все слагаемые с данным значением m . Полученная сумма при m n представляет собой в точности сумму всех вообще унитарных многочленов степени m поскольку каждый такой многочлен однозначно представим в виде произведения неприводимых : . Таким образом, F = +... , где точки отвечают слагаемым, в которых многочлены имеют степень выше n . Положим теперь   для всех i и m . Тогда и все , так что получаем: F=   = 
Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим: 
F = = 1/(1-tq) . Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t , получаем: = . Коэффициент при   в правой части равен . Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m , причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m . Итак, имеем: 
  . Отсюда непосредственно находим: , , ,   и так далее 
Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени 
В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что . Снова из той же формулы получаем: = 
Замечание. Из приведенных рассуждений вытекает, что при   эквивалентно . Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима 
Гомоморфизм Фробениуса 
Пусть k - поле характеристики p . Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф( a) = . Только что мы проверили, что Ф( a+b) = Ф( a)+ Ф( b) . Кроме того, очевидно, что Ф( ab) = Ф( a )Ф (b) . Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку   = 0 a = 0 , Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p) , то поскольку     - циклическая группа порядка ( p-1 ), для всякого   , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение   в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов   и не входящих в GF(p) ,   Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем: 
Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф( b) = а 
Если q любой многочлен над полем GF(p) , k - некоторое поле характеристики p и   , то Ф( )) = Ф( ) , а потому, если   - корень q , то Ф( ) также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение) 
Пример. Пусть q =     - многочлен над полем GF(2) ,   =а . Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф( ) =   = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a . Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета: 
a + b = 1 и ab = 1 
Замечание. В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x) , построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф( r(x)) = r( ) и потому элемент r = x   не входит в его образ 
Характеристика поля ; автоморфизм Фробениуса 
Пусть k - произвольное поле,   его единица. Рассмотрим отображение , действующее по формуле t(n) = ne . Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I Z его ядро. Возможны два случая: 
I ={0} . В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n 0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q k , положив: T(n/m) = ne* . Значит k содержит подполе Im T 
I {0} . Тогда I = pZ и k содержит Im T в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p . Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля 
Итак, если char(k) =0 , то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q , а если char(k) =p , то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p) 
Примеры 
Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0 
Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b , которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами:                      
Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку   2* x = x + x = 0 , поле X имеет характеристику 2. Отметим, что ( X,+) , а . Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4) 
Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k . По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q , где p,q k[x] , причем q 0 . Считается, что , если . Отсюда следует, что   : ( dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv . Умножение дробей определяется естественным образом: ( p/q)*(u/v) = (pu)/(qv) . Отметим, что k[x] k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1 . Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p , то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x) , которое также имеет характеристику p 
Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля 
Любое тождество A = B , где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k , путем замены каждого целого z   Z на соответствующий элемент t(z)   k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k . Например, формула Тейлора для многочленов:   имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде: 
она будет иметь смысл и в поле характеристики q , если каждое целое число s , входящее в нее, заменить на остаток     от деления на q 
Формула бинома Ньютона:   имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты   - целые числа 
Лемма. Если p простое число, то p | при s=1,2,...,p-1 
Действительно, = - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p , так что k =     Z и значит = pk при s > 0 
Следствие. В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0