Міністерство освіти України
                          ДАЛПУ

               Кафедра автоматизації 
  технологічних процесів і приладобудування

              КУРСОВА    РОБОТА

         з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

        на тему “Розв’язок диференціального рівняння 
виду  апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх  при заданих 
початкових умовах з автоматичним вибором кроку
                               методом Ейлера”

                                                           Виконала студентка групи БА-4-97
                                                          Богданова Ольга Олександрівна 
                                                          Холоденко Вероніка Миколаївна  
                                                          Перевірила Заргун Валентина Василівна

                                                                                                                    

1998
                                                                       
Блок-схема алгоритма

                         Блок-схема алгоритма

начало

у/=f(x,y)
y(x0)=y0 
                                              x0, x0+a

h, h/2

k:=0

                                        xk+1/2:=xk+h/2
        yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2
                                                             αk:= f(xk+1/2, yk+1/2)
                                        xk+1:=xk+h
                                         yk+1:=yk+αkh

                                    нет         k:=n
                                                                                    да
 
                                                x0, y0,
x1, y1…
                                                xn, yn

                                                конец

                
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

     Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.
      Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он  является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

      Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
                                       y/=f(x,y)                (1)
с начальным условием 
                                     x=x0, y(x0)=y0              (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.
       В методе Эйлера приближенные значения у(хi)yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.
     Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|a, |y-y0|b}удовлетворяет условиям:

                           |f(x, y1)- f(x, y2)|  N|y1-y2|  (N=const),
                           |df/dx|=|df/dx+f(df/dy)|  M  (M=const), 
     
то имеет место следующая оценка погрешности:
                          |y(xn)-yn|  hM/2N[(1+hN)n-1],            (3)

где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.  
Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом  h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой 
                                          |yn-y(xn)||yn*-yn|.

   Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка. 
     Модифицированный метод Эйлера более точен.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1)  y/=f(x,y)
с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n                                          
                                          равных частей. На малом участке [x0,x0+h]
у                                                                     интегральную кривую заменим прямой 
                     Nk/                            y=y(x)         линией. Получаем точку Мк(хк,ук).
                                                                                                          
           Мк          Мк/                                             
                        yk+1                                        
            yk
           
             хк хк1/2 xk+h=xk1        х   

  Через Мк проводим касательную:  у=ук=f(xk,yk)(x-xk). 
Делим отрезок (хк,хк1) пополам:
                                          xNk/=xk+h/2=xk+1/2
                                               yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:
                                           y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=αk
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:
                                           ук+1=ук+αкh
                                           xk+1=xk+h
                          (4)            αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)
                                           yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.
      Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.
      Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:
                                          | ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),
где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

 Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:
                                            y/=z
                                            z/=f(x,y,z)
Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0. 

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и  третьего порядка методом Эйлера

1.  Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
y/=2x-y
Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2
Начальные условия: у0=1; 
Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:
1). x1=0,2;  х1/2=0,1;     y(x1)=y(x0)+α0h;   y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;
      f(x0,y0)=20-1=-1   
      y(x1/2)=1-10,1=0,9
      α0=20,1-0,9=-0,7   
       y1=1-0,10,2=0,86

2). y(x2)=y(x1)+α1h;   x2=0,2+0,2=0,4;   x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3
     y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2   
     f(x1,y1)=20,2-0,86=-0,46   
     y(x1+1/2)=0,86-0,460,1=0,814
     α1=2*0,3-0,814=-0,214 
     y2=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3=0,4+0,2=0,6;   x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5
     f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172  
     y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548
     α2=2*0,5-0,81548=0,18452  
     y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

 4).x4=0,8;   x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7
     f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896
     y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936 
     α3=2*0,7-0,89=0,5113064
     y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5=1;   x4+1/2=0,8+0,1=0,9
    f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472
    y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;   
    α4=2*0,9-1,02=0,779271248
    y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка:
y//=2x-y+y/
    Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;
    Замена:   y/=z
                    z/=2x-y+z
    Начальные условия:    у0=1
                                           z0=1

1).x1=0,2;   x1/2=0,1
   y(z1)=y(z0)+α0h                                   z(x1,y1)=z(x0,y0)+β0h               
   y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2                      z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2
   f(z0,y0)=f10=1                                       f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0
   y1/2=1+1*0,1=1,1                                 z1/2=1+0*0,1=1
   α0=z0=1                                                β0=2*0,1-1,1+1=0,1
   y1=1+0,2*1=1,2                                   z1=1+0,2*0,1=1,02

2).x2+0,4;   x1+1/2=0,3
    f11=z1=1,02                                         f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22
    y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1                     z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042
    α1=z1+1/2=1,042                                   β1=2*0,3-1,302+1,042=0,34
    y2=1,2+1,042*0,2=1,4084                  z2=1.02+0,34*0,2=1,088 

3).x3=0,6;   x2+1/2=0,5
    f12=z2=1,088                                        f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796
    y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172        z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596
    α2=z2+1/2=1,13596                                β2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876
    y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592         z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4=0,8;   x3+1/2=0,7
    f13=z3=1,211752                                   f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616
    y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672     z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368
    α3=z3+1/2=1,289368                               β3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008
    y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656              z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216
5).x5=1;   y4+1/2=0,9
    f14=z4=1,39827216                                f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656
    y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928      z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816
    α4=z4+1/2=1,508752816                          β4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546
    y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163           z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416

    

3. Чтобы решить уравнение третьего порядка
y///=2x-y-y/+y//
на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями
y0//=1
y0/=1
y0=1
необходимо сделать 3 замены:     y/=a                             y0/=a0=1
                                                         y//=a/=b                        y0//=b0=1
                                                         b/=2x-y-a+b

1).x1=0,2;   x1/2=0,1
      y(a1)=y(a0)+a0h                                        y(a1/2)=y(a0)+f10h/2
      a(b1)=a(b0)+β0h                                        a(b1/2)=a(b0)+f20h/2
      b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+γ0h                       b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2
    f10=f(a0,y(a0))=1                                     y1/2=1+1*0,1=1,1
    f20=f(b0,a(b0))=1                                     a1/2=1+1*0,1=1,1
    f30=f(x0,y0,a0,b0)=-1                                b1/2=1-1*0,1=0,9
    α0=a1/2=1,1                                              y(a1)=1+1,1*0,2=1,22
    β0=b1/2=0,9                                             a(b1)=1+0,9*0,2=1,18
    γ0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1                     b(x1,y1,a1)=1-1,1*0,2=0,78

2).x2=0,4;   x1+1/2=x1+h/2=0,3
    f11=a1=1,18                                              y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338
    f21=b1=0,78                                              a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258
    f31=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22             b1+1/2=-1,22*0,1+0,78=0,658
    α1=a1+1/2=1,258                                        y2=1,22+1,258*0,2=1,4716
    β1=b1+1/2=0,658                                        a2=1,18+0,658*0,2=1,3116
    γ1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338      b2=0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x3=0,6;   x2+1/2=0,5
    f12=a2=1,3116                                           y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276        
    f22=b2=0,5124                                           a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284
    f32=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708        b2+1/2=0,4-1,4*0,1=0,36542
    α2=1,36284                                               y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168
    β2=0,36542                                               a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664
    γ2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018         b3= 0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x4=0,8;   x3+1/2=0,7
    f13=1,384664                                             y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364
    f23=0,192364                                             a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204
    f33=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488         b3+1/2=0,19-1,7*0,1=0,0187152

    α3=1,4039204                                             y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477
    β3=0,0187152                                             a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403  
    γ3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416     b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x4=1;   x4+1/2=0,9
    f14=1,388403                                               y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478
      f24=-0,1812235                                           a4+1/2=1,4-0.181*0,1=1,370306608
    f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834      b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266
    α4=1,3703                                                    y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038
    β4=-0,38066                                                 a5=1,388-0,38*0,2=1,3122669   
    γ4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056     b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

     

               

               

       
Программа на Turbo Pascal

uses crt,pram,kurs1_1;
var
  yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;
  y,a,b:array[0..10,0..1] of real;
  i,n,o:integer;
  c,d,h,k:real;
label
  lap1;
begin
screen1;
clrscr;
writeln('введите наивысший порядок производной не больше трех ');
readln(n);
if n=0 then begin
writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера ');
goto lap1;end;
writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');
for i:=0 to n do
readln(l[i]);
if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin
    writeln('деление на ноль');
    goto lap1;
    end;
writeln('введите коэффициент при x');
readln(k);
writeln('введите отрезок ');
readln(c,d);
o:=5;
h:=abs(d-c)/o;
writeln('шаг=',h:1:1);
writeln('задайте начальные условия y(x)= ');
for i:=0 to n-1 do
readln(v[i]);
if n=3 then begin
  yx[0]:=v[0];
  ay[0]:=v[1];
  by[0]:=v[2];
  p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];
  x[0]:=c;
  gotoxy(32,1);
     write('                                             ');
     gotoxy(32,2);
     write('      x          y          a          b      ');
     gotoxy(32,3);
     write(' ',c:7:7,'   ',yx[0]:7:7,'  ',ay[0]:7:7,'  ',by[0]:7:7,' ');
 for i:=0 to o-1 do begin
  x[i]:=x[i]+h/2;
  y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

  a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];
  b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];
  ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];
  xy[i]:=x[i]+h/2;
  yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];
  ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];
  by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];
  x[i+1]:=x[i]+h/2;
  p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];
  end;
  for i:=0 to o-1 do begin
     gotoxy(32,4+i);
     write(' ',xy[i]:7:7,'  ',yx[i+1]:7:7,'  ',ay[i+1]:7:7,'   ',by[i+1]:7:7,'   ');
     end;
   gotoxy(32,4+o);
   write('                                                ');
end;
if n=2 then begin
   x[0]:=c;
   yx[0]:=v[0];
   ay[0]:=v[1];
   p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];
     gotoxy(32,1);
     write('                                  ');
     gotoxy(32,2);
     write('      x          y          a      ');
     gotoxy(32,3);
     write(' ',c:7:7,'  ',yx[0]:7:7,'  ',ay[0]:7:7,'  ');
   for i:=0 to o-1 do begin
   x[i]:=x[i]+h/2;
   y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];
   a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];
   ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];
   xy[i]:=x[i]+h/2;
   yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];
   ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];
   x[i+1]:=x[i]+h/2;
   p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];
   end;
   for i:=0 to o-1 do begin
     gotoxy(32,4+i);
     write(' ',xy[i]:7:7,'  ',yx[i+1]:7:7,'  ',ay[I+1]:7:7,'   ');
    end;
   gotoxy(32,4+o);
   write('                                  ');
   end;
    if n=1 then begin
    x[0]:=c;
    yx[0]:=v[0];
    p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];
   for i:=0 to o-1 do begin
     x[i]:=x[i]+h/2;
     y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];
     xy[i]:=x[i]+h/2;

     ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];
     yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];
     x[i+1]:=x[i]+h/2;
     p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];
   end;
  gotoxy(32,1);
     write('                                     ');
     gotoxy(32,2);
     write('         x                y          ');
     gotoxy(32,3);
     write('     ',c:7:7,'          ',yx[0]:7:7,'    ');
   for i:=0 to o-1 do begin
     gotoxy(32,4+i);
     write('     ',xy[i]:7:7,'          ',yx[i+1]:7:7,'    ');
    end;
   gotoxy(32,o+4);
   write('                                     ');
  end;
lap1:readln;
pramo;
delay(10000);
clrscr;
end.

ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ

   Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu. 
Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия: порядок производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х0). На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.  

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

1 – ввод данных, используемых в программе
2 – использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение  
      дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных 
      условий 
3 – присвоение начальных условий для дифференциального уравнения   
      третьего порядка
4 – вывод  таблицы со значениями 
5 – ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка

6 – присвоение начальных условий для решения дифференциального 
      уравнения второго порядка 
7 – вывод таблицы для уравнения второго порядка 
8 – формулы метода Эйлера для уравнения второго порядка

9 – начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка
10 – формулы метода Эйлера для решения уравнения первого порядка
11 – вывод таблицы
12 – обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка 
        экрана, конец программы.