МНОЖЕСТВА С ДВУМЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ КОЛЬЦА И ПОЛЯ
            Предположим, что существует множество R , на котором   расположены две алгебраические операции сложение и умножение 
Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению: 
  .                                            
             И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению 
В случае если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны 
Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность 
Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т.е. 0.   
Приравняв у и z к нулю, получим: x *0 = x *0 + x *0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x *0 = 0 
В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т.е. отрицательный, приравняв   z к (- y ), получим: 0 = x *0 = x * y + x *(- y ) отсюда следует,   x *(- y ) = - x * y 
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k , в котором всякий ненулевой элемент обратим: 
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля 
Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+,*), если: 
1. 0 
Обратимыми называют те элементы кольца R , которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через 
Множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей. 
2.Умножение в R дистрибутивно относительно сложения 
Ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности 
Кольцо с единицей - наличие нейтрального элемента для операции умножения 
3. ( R ,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R ) 
Приведем некоторые примеры колец и полей 
Допустим R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p = , где   называется многочленом над кольцом R .   
Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R [ x ].Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [ x ]. Если   , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg ( p ) 
Если R не имеет делителей нуля, то deg ( pq )= deg ( p )+ deg ( q ) и потому R [ x ] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R , рассматриваемые как многочлены нулевой степени 
Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R [ x , y ] = R [ x ][ y ] (= R [ y ][ x ]) 
Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа   содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в   необратимы, хотя и не являются делителями нуля 
Рассмотрим поля R , Q , и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел. Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2). Если p - простое число, то все вычеты по модулю p , кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e . Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом. Рассматривая группу   с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF ( p ) 
Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно 
Множество квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц 
Если det ( A ) обратимый элемент кольца R , то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица Если R содержит единицу , то матрица   Е =   diag ( , ,..., ) ,будет единицей кольца матриц 
Для любой матрицы     имеет смысл понятие определителя det ( A )   R , причем det ( AB )= det ( A ) det ( B ) 
= - группа матриц порядка n с обратимым определителем.   Любая вырожденная матрица   будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det ( A ) 0, то есть матрица невырождена. В самом деле, из det ( A ) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. А*В = 0, где А является делителем нуля, в том случае если В - ненулевая матрица 
Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу 
Например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; = diag (1,1,...,1,0)   = diag (1,1,...,1) 
Допустим - некоторое подкольцо. К,+ - подгруппа коммутативной группы R ,+, можно образовать факторгруппу R / K , элементами которой являются смежные классы   r + K 
Поскольку К*К К,   для произведения двух смежных классов имеет место включение: ( r + K )*( s + K ) r * s + r * K + K * s + K 
Подкольцо К называется идеалом кольца R , если : x * K K и      K * y K 
Мы видим, что если К является идеалом в R , произведение смежных классов      ( r + K )*( s + K ) содержится в смежном классе r * s + K . Значит в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К 
Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R 
Согласно данной интерпретации К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: 
К будет обладать свойствами ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами 
             Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:   и   называется Гомоморфизмом колец 
Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker . Если эти изоморфные кольца отождествить, то   отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо 
Ядро группового гомоморфизма   аддитивных групп   называется ядром гомоморфизма 
Ядро гомоморфизма колец является идеалом 
Пусть - гомоморфизм колец, I = Ker ,   - любой элемент. Тогда, ( x * I ) = ( x )* ( I ) = ( x )*0 =0. Значит, x * I Ker = I . Аналогично проверяется, что I * x I 
Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом 
При отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как, ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу 
Приведем примеры 
Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем, то. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда 
Если   любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S , называемым главным идеалом с образующим элементом x . Этот идеал обозначается ( x ).   Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то ( x )= S 
Факторкольцо Z / nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом   кольца Z является подкольцо nZ , так как для любого целого m m ( nZ ) nZ . Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля 
Допустим, что I идеал кольца R . Тогда соотнося каждому элементу   смежный класс r + I , получаем сюръективный гомоморфизм   , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо 
Предположим, что I R [ x ] является множество всех многочленов , у которых =0. Тогда I = xR [ x ]. Так как p * I =( p * x ) R [ x ] I , значит получаем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q + I содержит элемент . Поэтому, ( q + I )*( s + I ) = ( + I )*( + I ) = * + I