ЛАЗЕРНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Введение 
В последнее время в квантовой оптике активно изучается лазерное охлаждение. Особое внимание при исследовании этих явлений уделялось газообразным средам, гораздо менее изучены эти явления в твердых телах. Теоретические работы по исследованию лазерного охлаждения в твердых телах основа физики и приводят к очень сложным уравнениям, описывающим динамику системы. Однако объяснение этого эффекта возможно и без привлечения сложного математического аппарата, а с использованием элементарного полуклассического подхода, аналогичного полуклассической теории Эйнштейна, использованной для изучения взаимодействия излучения с веществом 
Целью настоящей работы является изучение лазерного охлаждения в твердых телах на основе элементарной полуклассической теории с использованием простейших вероятностных соотношений 
Лазерное охлаждение 
Одной из проблем рассматриваемых в настоящей работе является проблема лазерного охлаждения твердых тел. При комнатной температуре атомы и молекулы, из которых состоит воздух, двигаются в различных направлениях со скоростью около 4000км/час. Такие атомы и молекулы трудно изучать, потому что они слишком быстро исчезают из области наблюдения. Понижая температуру, можно уменьшить скорость, однако проблема состоит в том, что при охлаждении газы обычно вначале конденсируются в жидкость, а затем вымораживаются в твердое состояние. В жидкостях и в твердых телах исследование становится более трудным, так как одиночные атомы и молекулы оказываются слишком близко друг к другу 
Стивен Чу, Клод Коэн-Тануджи и Уильям Д. Филипс развили методы, позволяющие с помощью лазерного света охлаждать газы до температур порядка микрокельвина и удерживать холодные атомы, плавающие или захваченные в различного рода "атомных ловушках". Лазерный свет действует как вязкая жидкость, так называемая оптическая патока, в которой атомы замедляются. Так можно с очень высокой точностью изучать отдельные атомы и определять их внутреннюю структуру. По мере того, как в одном и том же объеме захватываются все больше и больше атомов, образуется разреженный газ, и его свойства могут быть детально изучены. Новые методы исследования, развитые нобелевскими лауреатами, вносят большой вклад в наши знания о взаимодействии между излучением и веществом. Лазерные ловушки позволяют удерживать живые клетки и органеллы в клетках, не прокалывая клеточную мембрану. Одиночные молекулы ДНК используются для изучения фундаментальных вопросов динамики полимеров 
Эксперименты по лазерному охлаждению стали впечатляющей демонстрацией механического действия света, но этот эффект имеет значительно более длинную историю. Понимание того, что электромагнитное излучение оказывает давление, приобрело количественную основу только после создания Максвеллом теории электромагнетизма, хотя такие предположения высказывались значительно раньше, в частности, что хвосты комет вытянуты в противоположную сторону от солнца. Но только в начале нашего столетия Лебедев доказал в лабораторных экспериментах, что излучение оказывает давление на макроскопические объекты, и измерил это давление 
Лазерное охлаждение в примесных кристаллах 
Сейчас лазерное охлаждение стало хорошо развитой областью науки, имеющей важное прикладное и фундаментальное значение. Однако до самого последнего времени наблюдалось лазерное охлаждение лишь газовых сред. Недавно появилось несколько теоретических [1] и экспериментальных [2] работ по лазерному охлаждению в конденсированной фазе. Американским ученым удалось охладить на 30 К примесные молекулярные кристаллы, освещая их лазерным светом на краю линии поглощения [5] 
Рассмотрим постановку задачи о лазерном охлаждении в примесных молекулярных кристаллах в рамках элементарного квантового подхода, основанного на простейших балансных уравнениях 
Спектры поглощения и флюоресценции родамина 101 в кислородосодержащем этаноле показаны на рисунке 1. [5] 

  
        
Рис. 1. Линия поглощения молекул родамина в кислотосодержащем этаноле 
Вид кривой поглощения позволяет нам моделировать примесные атомы (при их взаимодействии с лазерным излучением на краю линии поглощения с частотой w k ) - двухуровневой системой, с частотой перехода w 0. (рис. 2) 

  
Рис. 2. Схема энергетических уровней в примесном атоме 
Анизотропные примесные молекулы испытывают   колебательные либрации (ориентационные колебания) относительно равновесных положений в кристалле. Эти либрации модулируют постоянное взаимодействие молекулы с электромагнитным полем, что приводит к непрямым переходам, когда вместе с фотонами поглощается или испускается фонон. Такие фононы называются локальными или псевдолокализованными фононами. На рисунке 3 показана схема возможных переходов в молекуле примеси. С физической точки зрения лазерное охлаждение обусловлено следующим: по условию эксперимента в рассматриваемой задаче число фотонов с частотой w k =w 0 -W много больше числа фотонов в остальных модах. Значит, динамика системы определяется переходами трех типов: спонтанным излучением, непрямым переходом из (-) в (+) с поглощением фотона накачки и локального фонона, и СНП (стоксовским непрямым переходом) с испусканием фонона (см. рис. 3). В стационарном режиме населенность возбужденного уровня оказывается меньше, чем невозбужденного состояния. Это значит, что в единицу времени поглощается больше локализованных фононов, чем испускается. Следовательно, в стационарном режиме среднее число фононов меньше, чем в равновесном состоянии, что эффективно и означает уменьшение температуры фононной моды. При этом температура образца оказывается выше, чем температура локальной фононной моды. При уменьшении среднего числа фононов происходит перенос энергии от образца к выделенной фононной моде, в результате температура всего образца понижается. Энергия, отобранная у фононной моды, уносится фотонами, которые покидают образец 

    
Рис. 3. Схема возможных переходов в примесном атоме 
Запишем балансные уравнения для средней разности населенностей и среднего числа фононов 
Пусть 
(1) P + = N + / N - средняя населенность верхнего уровня (или вероятность одного атома находится в возбужденном состоянии) 
(2) P - = N - / N - средняя населенность нижнего уровня (или вероятность одного атома находится в невозбужденном состоянии), где N – число примесных атомов в образце 
(3) При этом N= N + +N - 
Из формул (1)-(3) следует закон сохранения вероятности 
(4) P + +P - = 1 
P= P + - P - Откуда: 
P + =(P+1)/ 2 и P - =(1-P)/ 2 
Запишем уравнения для изменения средней населенности верхнего и нижнего уровня 
(5) d/dt P + =-Г спонт P + -Г изл P + +Г погл P - 
(6) d/dt P - = Г спонт P - +Г изл P - -Г погл P + 
Где Г спонт – вероятность для атома за 1 с. спонтанно перейти из возбужденного в невозбужденное состояние с испусканием фотона частоты w 0 , Г спонт = 1/ t 0 , где t 0 - время прямого спонтанного излучения 
Г изл - вероятность для атома за 1 с. перейти из возбужденного в невозбужденное состояние непрямым образом, то есть путем одновременного испускания фотона частоты w k = w 0 - W и фонона частоты W . По аналогии с теорией Эйнштейна взаимодействия излучения с веществом мы можем назвать эти константы вероятностями вынужденного стоксовского излучения и поглощения. Причем в константу Г изл входит, как и вероятность спонтанного стоксовского излучения, так и вынужденного, то есть 
Г изл = Г стокс спонт. изл. +Г стокс вын. изл. , а 
Г погл = Г стокс вын. погл. 
Очевидно, что Г стокс спонт. изл. пропорционально М – числу рабочих фононных мод, а Г стокс вын. погл и Г стокс вын. изл. пропорциональны М, а также n , равное среднему числу фононов в одной моде 
Г стокс спонт. изл. = M/ t s 
Г стокс вын. изл. = (M/ t s )n 
Г стокс вын. погл = (M/ t s )n 
Где t s – константа, которую можно назвать временем стоксовского спонтанного излучения 
Тогда из уравнения (4) с помощью подстановки выражений вида (5), (6) получается: 
½ dP/dt= -½ 1/ t 0 ( P+1 ) -M/t s (n+1)(P+1)/2 + M/t s n(1-P)/2 или 
(7) dP/dt= -1/ t 0 ( P+1 ) -2M/t s (nP+(P+1)/2) 
Запишем также балансные уравнения для среднего числа фононов в моде 
(8) dn/dt= Г ~ изл (n+1) - Г ~ погл n –1/ t v (n-n s ) 
В уравнении (8) добавлено слагаемое - 1/ t v (n-n s ), где n s – равновесное число фононов в моде, а t v – время фононной релаксации. Это слагаемое описывает релаксацию числа фононов за счет взаимодействия с другими фононными модами кристалла 
Г ~ изл = NP + / t s , Г ~ погл = NP - / t s , где N – число примесных атомов. Тогда 
dn/dt= N/ t s [n(P + -P - )+P + ] –1/ t v (n-n s ) 
Применим в правой части формулу для средней разности населенностей 
(9) dn/dt= N/ t s [nP+(P+1)/2] –1/ t v (n-n s ) 
Найдем стационарные решения уравнений (7) и (8). Для этого приравняем их правые части к нулю 
-1/ t 0 (P+1) –2M/ t s (nP+(p+1)/2)= 0 
N/ t s (nP+(P+1)/2) –1/ t v (n-n s )= 0 
Для качественного анализа решения уравнения (9) рассмотрим физический случай, когда поле источника не слишком мало n k >>1 и при достаточно длительных временах нагрева t s << M t 1 получим: 
n st = n s /a, где a= ( t v / t 1 ) (N/ M) 
При определенном соотношении между параметрами t v , t 1 , N и M a может быть >>1. Тогда стационарное число фононов n st может быть гораздо меньше равновесного n s . Если для стационарного и равновесного числа фононов использовать распределение Бозе-Эйнштейна, то 
n st = 1/ (e hU;/k Б T -1 ) 
n s = 1/ (e hU;/k Б T s -1 ), (T s – равновесная температура фононной моды ) 
Мы можем найти связь между Т и T s 
Т= T s [1+ (hU;/k Б T)ln( 0.5)] -1 
Если a 1, то T< T s 
Таким образом, эффективная температура фононной моды понижается, а это приводит к релаксации энергии от образца в выделенную фононную моду, следовательно, понижается температура всего образца. Количественные оценки для эффективного понижения температуры образца в настоящей работе не проводились 
Заключение 
Таким образом, в настоящей работе предложена полуколичественная квантовая теория для описания эффектов лазерного охлаждения в твердых телах. Показано, что охлаждение твердых тел может быть обусловлено взаимодействием примеси с локальными фононами 
Литература 
1. С.Чу. Управление нейтральными частицами, УФН , 1999 г ., т. 169, N 3, C . 274-292 
2. К.Н.Коэн-Тануджи. Управление атомами с помощью фотонов, УФН , 1999 г ., т. 169,N 3, C . 292-305 
3. У.Д.Филипс. Лазерное охлаждение и пленение нейтральных атомов, УФН , 1999 г ., т. 169,N 3, C . 305-323 
4. Андриянов С.Н., Самарцев В.В. Оптическое сверхизлучение и лазерное охлажление в твердых телах, Казань 1998,c.76-92 
5. Epstein R.I., Buchvald M.N., Edwards B.C., Gosnell T.R., Mungan C.E. Observation of laser induced fluorescent cooling of a solid Nature, 1995,Vol.377, p.500-502