Концептуальное метамоделирование функционирования системного   
                 элемента 

                                  2.1. Системный элемент как объект моделирования
          Понятие "элемент" является одним из фундаментальных в общей теории систем (ОТС) - системологии. Оно происходит от латинского "Elementarius" и имеет смысл: начальный, простой, простейший, конечный, неделимый, лежащий в основе чего-либо.Впервые понятие "элемент" встречается, по-видимому, у Аристотеля в его работе "Метафизика".
          Согласно ОТС, любая система (обозначим ее ), независимо от ее природы и наз-
начения, а также от сознания субъекта (эксперта), существует только в структуриро-ванной форме. Структурированность выступает в качестве всеобщего свойства мате-
рии - ее атрибута. Именно свойство структурированности, а следовательно, и члени-
мости целостной системы  на части  приводит к образованию компо-
нент-подсистем  и элементов  
          В целенаправленных действующих системах  любой компонент  целого характеризуется как поведением, так и строением. В тех случаях, когда при моделиро-вании рассматривается (исследуется) и поведение () и строение (), компонент   определяется как подсистема системы . Если же рассмотрению подвергается только поведение компонента , то его определяют как элемент  где Е -  комплект элементов, выступающий носителем системы .  Таким образом, сущность компонента "подсистема" дуальна. Для вышерасположенных компонент  подсистема выступает как элемент, а для нижерасположенных - как система.
          В системологии понятие "элемент" трактуется двояко - как абсолютная и как от-
носительная категории. Абсолютное понятие элемента определяется физико-химичес-
ким подходом, относительное - системологическим.
          Понятие абсолютного элемента   связано с определением начального мини-мального компонента системы , т.е. такой ее части, которая сохраняет основные 
свойства исходной целостной системы . При таком подходе, назовем его молекуляр-
ным, понятие "элемент" включает в себя и фиксирует существенные свойства целост-
ной системы .
          Понятие относительного элемента   () связано с уровнем познания 
исходной целостной системы . При этом элемент  рассматривается как системная 
категория, зависящая от "взгляда" и "отношения" к нему субъекта (исследователя, эксперта). Такой подход к определению элемента  назовем  системологическим. При системологическом подходе компонент  является элементом  () толь-
ко в рамках данного рассмотрения на выделенном уровне анализа. Для системологи-
ческого подхода понятие элемента, как относительной категории, может быть сформу-
лировано следующим образом.

          Определение 1. Элемент - это относительно самостоятельная часть системы,
 рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое с интегральным поведени-
ем, направленным на реализацию присущей этому целому функции.

          С учетом изложенного выше, рассмотрим элемент с точки зрения целостности.

                                    2.2. Целенаправленность системного элемента
          Фундаментальным свойством системного элемента  является его целенаправленность и, как следствие, способность функционировать. Под функциони-
рованием принято принято понимать реализацию присущей элементу  функции, т.е.
возможность получать некоторые результаты деятельности системного элемента , определяемые его целевым назначением. 
          Целенаправленно действующий системный элемент  должен обладать, по край-
ней мере, тремя основными атрибутами: 
          - элемент  выполняет одну или несколько функций, 
          - элемент  обладает определенной логикой поведения,
          - элемент  используется в одном или нескольких контекстах.
          Функция  указывает на то, "что делает элемент ".
          Логика  описывает внутренний алгоритм поведения элемента , т.е. определяет "как элемент  реализует свою функцию".
          Контекст  определяет конкретные условия применения ( приложения ) элемента  в тех или иных условиях, в той или иной среде.
          Таким образом, принимая во внимание изложенное, можно определить содержа-
тельно что такое модель функционирования системного элемента .

Определение 4. Модель функционирования элемента ( МФЭ ) - это отражение на неко-тором языке совокупности действий, необходимых для достижения целей ( целевой функции ), т.е. результата  функционирования элемента .  МФЭ не учитывает строение, а также способы и средства реализации элемента. Такая модель устанавли-вает факт "Что делает элемент  для достижения результата ", определяемого его целевым назначением.

                                         2.3. Целостность системного элемента

          Целостность одно из основных свойств (атрибутов) системного элемента. Она от-
ражает завершенную полноту его дискретного строения. Правильно сформированный 
системный элемент  () характеризуется явно выраженной обособленностью (границами) и определенной степенью независимости от окружающей его среды. Относительная независимость системного элемента определяется (характеризуется) совокупностью факторов, которые назовем факторами целостности.

 Факторы целостности   Полная совокупность факторов целостности элемента  определяется двумя группами, которые назовем внешние факторы целостности и внут-ренние.

 Внешние факторы   1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента  с ок-ружающей его средой  , т.е. минимальная внешняя связность элемента . Обозначив полную совокупность внешних связей элемента  через , рассматриваемый фактор запишем как условие минимизации:   Min.
          2. Низкий уровень взаимодействия  элемента   с окружающей его средой 
,т.е. слабое взаимодействие, определяемое минимальной совокупной интенсивностью обмена сигналами    Min.

Внутренние факторы    1. Высокая степень связности друг с другом частей, из которых состоит элемент , т.е. суммарная внутренняя связность  максимальна  Max.
          2. Высокая интенсивность  взаимодействия частей, из которых состоит элемент . Иными словами, имеет место сильное внутреннее взаимодействие  Max.
                                                      
Оценка целостности элемента   Перечисленные выше факторы могут быть использова-
ны для оценки целостности системного элемента . Такая оценка, в определенной мере, характеризует степень "прочности" элемента по отношению к окружающей его 
среде .
          Введем понятие "прочность" как показатель внутренней целостности элемента и 
определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей  и взаимо-
действий  всех частей, из которых состоит элемент  . Прочность элемента при 
этом определяется выражением
                                                                                                                        (1)
          Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей  и взаимодействий  элемента
 с окружающей его средой  введем показатель "сцепленности" и определим его как композицию показателей  и , т.е.
                                                                                                                         (2)

          Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки
 целостности   элемента . Такая оценка определяется отношением вида
                                                                                                                        (3)
т.е. как отношение прочности   элемента   к его сцепленности  со средой . 

         С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид

                                                                                                                                (4)    

Уровни целостности элемента    Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы по уровням целостности и качественно определить их устойчи-вость по отношению к окружающей среде.
        
          Случай 1. Если значение показателя прочности   элемента   превосходит зна-
чение показателя сцепленности  элемента   с его средой , т.е.  > , а как 
следствие и  > 1, то элемент  по своим целостным свойствам устойчив. В рассмат-
риваемом случае имеет место супераддитивная целостность.

          Случай 2. Пусть значения показателей прочности   и сцепленности  равны, 
т.е.  = . В этом случае показатель целостности  = 1. Тогда элемент  по сво-
им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента  определим как аддитивная целостность.

          Случай 3. Наконец, пусть  значения показателя прочности   элемента  ниже значений показателя сцепленности  элемента   с его средой . В рассматривае-
мом случае условия записываются в виде  <  и  < 1. При этом элемент  по сво-
им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде . Рассматриваемый уровень целостности элемента  определим
как субаддитивная целостность.

          Таким образом, введенный показатель  может использоваться как критерий 
оценки качества целостных свойств элемента , а также для сравнения раэличных элементов  ( = 1, 2, ... , N) по критерию целостности.

                                2.4. Метод концептуального метамоделирования
          Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук-
тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще-
ния, концептуализации и формализации. 
          Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт-
ного к конкретному на основе интерпретаций. 
          КММ функционирования системного элемента  предполагает описание динами-
ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру-
жающей средой, т.е. внешнего поведения. Математическое описание такого элемента должно отражать последовательность причинно-следственных связей типа "вход - вы-
ход" с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони-
рования системного элемента  должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие.

          1. Элемент , как компонент системы , связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы.

          2. Компоненты  системы  воздействуют на  элемент  посредст-
вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством .

          3. Элемент  может выдавать в окружающую его среду  выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством .

          4. Функционирование системного элемента  (  ) происходит во време-
ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему:    где  
 
          5. Процесс функционирования элемента  представляется в форме отображения  входного векторного множества   в выходное - , т.е. по схеме "вход - выход" и представляется записью вида
                                                             .

          6. Структура и свойства отображения  при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента , во всех остальных случаях - инвариантны и связаны феноменологически.

          7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента , представ-ляется в модели "срезом" их значений для фиксированного момента времени , при 
условии фиксированного "среза" значений входных воздействий   и опреде-
ляется как внутреннее состояние   элемента .

          8. Внутренние свойства элемента  характеризуются вектором параметров
, которые назовем функциональными (  - параметры ).

          Концептуальное математическое описание системного  элемента  (  )
с учетом изложенных выше положений, представим кортежем

                                                       .                                                ( 1 )

Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента . 

             2.5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента
          Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо-
вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 )  по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес-
кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис-
пользована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную  математическую мо-
дель.
         В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента :
          КММ элемента  на теоретико-системном уровне ( ТСУ );
          КММ элемента  на уровне непараметрической статики ( УНС );
          КММ элемента  на уровне параметрической статики ( УПС );
          КММ элемента  на уровне непараметрической динамики ( УНД );
          КММ элемента  на уровне параметрической динамики ( УПД ).
     
          Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней.  

                                               КММ теоретико-системного уровня

          Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного
элемента  дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент 

и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента 

                                                       .

Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век-
торного множества  с соответствующим векторным множеством  посредством отображения "". Однако, отображение "" не указывает каким образом рассматривае-
мые множества связаны.

          Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой

                                                         .                                                         ( 2 )

                                      КММ уровня непараметрической статики 

          Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение , определяющее правила преобразования входов  в выходы , т.е. что необходимо сделать, чтобы при условии  получить , адекватное целевому функционированию  элемента . В общем случае  - отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо-
дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида
                                                         .                                                        ( 3 )

Раскрытие структуры преобразования вида  является основной задачей КММ уровня  . Рассмотрим в качестве иллюстрации функциональное описание элемента , представленное скалярной функцией , причем: .
          Функционирование  элемента  (  ) на УНС описывается как отобра-
жение . Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус-
ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений 
сигналов "вход - выход": 

                                                                                                                            ( 4 )  

Если из условия (  ), следует, что (  ), то отображе-
ние  однозначно. Значение величины  в любой из пар  называется функ-
цией от данного  . Общий вид записи функции  позволяет дать формальное 
определение функции элемента  в скалярной форме представления
                          
                                                                                             ( 5 )

Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр-
ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей   функционирования системного  элемента  (  ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема-
тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления )
 - отображения.

                                        КММ уровни параметрической статики

          Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента  
осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров , определяющих статические режимы. Для элемента  рассматриваются три группы параметров 
                                                                                                                     ( 6 )
   
где  - совокупность параметров {  } входных воздействий 
 - совокупность параметров {  } выходных реакций ( откликов ) 
 - совокупность параметров {  } отображения .
Перечни ( номенклатура ) параметров   и их значений определяются для каждого ти-
па конкретной модели  . Для  - отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер-
претаций КММ задается четверкой
                                         
                                                                                                           ( 7 )

                                        КММ уровня непараметрической динамики

          Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем-
ного элемента  определяется учетом в модели его динамических свойств. Динамика  элемента  рассматривается в нескольких аспектах. Первый аспект характеризуется реакцией  элемента  на динамику изменения входных воздействий 
при неизменном отображении , т.е. когда  - скалярная или векторная функция. Второй аспект определяется реакцией элемента  на входные ( статические  или ди-
намические  ) воздействия при времязависимом отображении , т.е. когда  - 
функционал или оператор, зависящий от времени .
          При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представ-
ляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты
                                
                                                                                                ( 8 )

Отметим, что на данном уровне представления КММ время  указывает на факт 
наличия динамических свойств, но не характеризует их конкретно. 

                                             КММ уровня параметрической динамики

          Последний - пятый уровень дедуктивного представления КММ функционирова-
ния системного элемента , определяемый как уровень параметрической динамики, включает все рассмотренные ранее аспекты модели, представляемые кортежем ( 1 )

                                                   .

В КММ рассматриваемого уровня выполняются условия концептуальной полноты представления функциональных свойств  элемента . Интерпретация та- кой модели на семантическом, синтаксическом, качественном и количественном уров-
нях дает возможность порождать ( генерировать ) любые конкретные математические модели функционирования системного элемента.
          Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида

                                                                                                                ( 9 )

                                                                    Выводы

          Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования систем-
ного элемента  на основе дедуктивного подхода приводит к пятиуровневой иерархии моделей, представленной на рис.    .
          Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементов  осуществляется посредством их ретрансляции в тер-минах выбранного математического языка и последующей интерпретации на четырех перечисленных выше уровнях конкретизации.