КОЛЕБАНИЯ. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Содержание 
Определение колебаний.	 * 
Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма.	 * 
Методом вращающегося вектора амплитуды.	 * 
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.	 * 
Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты.	 * 
Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.	 * 

  
Определение колебаний. 
	Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением 
, 
где x – смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 π секунд;t - время 
называют гармоническими 
Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма. 
Методом вращающегося вектора амплитуды. 
Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды 
Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически 
1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x 
2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый α 
3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω 0 , получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A , а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону 

Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой 
  
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. 
Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону: 
(1) 
Где e x и e у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия 
В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде: 
, 		(2) 
Они определяют координаты частицы на плоскости xy. 
Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний 
Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно (4) 
По формуле для косинуса суммы: 
, тогда 

Преобразуем это уравнение 

	(5) 
Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α 
Сложение колебаниё одного направления и одинаковой частоты. 
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного направления и одинаковой частоты: 
, (1) 
Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2 . Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2 
Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов: 

Вектор A вращается с той же угловой скоростью ω 0 , как и векторы А 1 и А 2 , так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (ω 0 , амплитудой A и начальной фазой α . Используя теорему косинусов получаем, что 
  
(2) 
(3) 
Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления 

Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу. 
1.	Разность фаз α равна нулю. 
При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом: 

Отсюда : 
- уравнение прямой 
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной (рис. 1 а) 
2.	Разность фаз α равна ±π. 
При разности фаз α равной ±π уравнение (5) имеет вид 

- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой 
(рис. 1 б) 

        
						Рис.1 
  
3.	Разность фаз равна 
. 
Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности 
При разности фаз, равной .уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям: 

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность 
Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний: 
, 
(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке) 
При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу 

          
Фигура Лиссажу для 
отношения частот 1:2 и 
разности фаз π/2 

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз π /2