Р  Е  Ф  Е  Р  А  Т

на   тему  :

“ Динамическое  представление   сигналов “

Выполнил: Зазимко С.А.
Принял :   Котоусов А.С.

МОСКВА

Динамическое представление сигналов.

	Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

	Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
         Реальный сигнал представляется суммой 	некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.
	На практике широкое применение нашли два способа динамического представления. 
	Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени   . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени .  В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
                                                   
				       рис.  1
	При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее .  В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.

                             рис. 2

	Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ   ВКЛЮЧЕНИЯ.

	Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

		    0,             t < -,
  u(t)   0.5(t/+1), -  t  ,   		(1)
		    1,   	         t > .

	Такая  функция  описывает  процесс  перехода  некоторого  физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние. 
                 
Переход  совершается по линейному закону за время 2.  Теперь если параметр  устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое  будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения  или  функции Хевисайда :
		         		t < 
		t   		t                             (2)
		                		t  

	В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину  t0.  Запись смещенной функции такова :

		          		         t < t0
	     t - t0    		t  t0                           (3)
		                 		t  t0

	
ДИНАМИЧЕСКОЕ     ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО   СИГНАЛА   ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ   ВКЛЮЧЕНИЯ.

	Рассмотрим некоторый сигнал  S(t),  причем для определенности скажем, что  S(t)=0  при  t<0. Пусть {,2,3,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде  суммы  ступенчатых  функций :
			    				      
s(t)s0(t)+(s1-s0)(t-)+...=s0(t)+(sk-sk-1)(t-k).
								 	 k=1

•	Если теперь шаг    устремить к нулю. то дискретную переменную  k  можно заменить непрерывной переменной  . При этом малые приращения значения сигнала превращаются  в  дифференциалы   ds=(ds/d)d ,  и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда 
                   
                    ds
    S(t)=s0 (t) +      (t-) d      (4)
                    d
                   0

	Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие  -  понятие дельта-функции.

ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .

	Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы,  заданный следующим образом :
 
       	               1                                               		
        u(t;) =  -----   (t +  ---- )  -  (t -  ---- )  	           (5)	
	                                  2                     2      

     			 

	При любом выборе параметра    площадь этого импульса 
равна единице :
		          
		П  =     u  dt  =  1
                            - 

	Например, если  u -  напряжение, то  П =  1  В*с.
	Теперь устремим величину    к нулю.  Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при    0  носит название  дельта-функции , или функции Дирака :

                        (t)  =  lim  u (t;)
		                     0
	Дельта функция  -  интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке   t = 0   дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом.  А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :

ДИНАМИЧЕСКОЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ  ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.	

	Теперь вернемся  к  задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов      (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов.  Если  Sk -  значение сигнала на  k - ом  отсчете, то элементарный импульс с номером  k  представляется как : 	              

	k(t) =  Sk  [ (t - tk) -   (t - tk - ) ]			 (6)
		                      
	В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал  S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :
	      		              
		   S(t)  =        (t)					 (7)
		                   k= -     k

	В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для  t :

                                 tk <  t < tk+1

	Теперь,  если произвести подстановку  формулы  (6)  в  (7)  предварительно разделив и умножив на величину шага  , то 

		                             1	              
		S(t)  =   Sk  --- [ (t - tk) -  (t - tk - ) ] 
		                  k=-                

	Переходя к пределу при    0  ,  необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной , дифференциал которой  d ,будет отвечать величине  . 

  Поскольку 
						                      1	
			 lim [ (t - tk) -  (t - tk - ) ] ---

 получим искомую   формулу  динамического представления сигнала 

			S (t) =   s () (t - ) d
			           -  

	Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени,  то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен    - импульс. Принято говорить, что в  этом состоит фильтрующее свойство  дельта-функции.

	Из определения дельта-функции следует  (3) .  Следовательно,  интеграл  дельта-функции  от  -   до  t   есть  единичный скачок  , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :

     			(t) = 1’ (t) ;
			(t-t0) =  1’ (t-t0) .

		Обобщенные функции как математические модели сигналов.

	В классической математике полагают,  что функция  S(t)  должна  принемать какие-то значения в каждой точке оси  t .  Однако рассмотренная функция  (t)  не вписывается в эти рамки - ее значение при   t = 0   не определено вообще,  хотя эта функция и имеет единичный интеграл.  Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие  обобщенной функции.
 	В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости.  Аналогом проекции исследуемой функции  (t)  может служить, например, значение интеграла

		             (t) (t)  dt                                            (8)
                                   - 
при известной функции  (t) , которую называют пробной функцией.
	Каждой функции  (t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула  (8)   задает некоторый  функционал на множестве пробных функций (t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть 

         		(,   2) = a(,) + (,2).

	Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций  (t) задана обобщенная функция   (t) . Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
	Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

	И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.  На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

				

Литература :

1.   А. Л. Зиновьев,   Л. И. Филипов     ВВЕДЕНИЕ   В 
                             ТЕОРИЮ   СИГНАЛОВ   И   ЦЕПЕЙ.

2.   С. И. Баскаков      РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ   ЦЕПИ 
                                       И    СИГНАЛЫ.