БИНАРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ
Для любых двух элементов x и y, взятых из множества S определена бинарная алгебраическая операция « *» , если однозначно определен элемент z = x * y, называемый композицией или произведением элементов x и y 
К таким операциям относятся операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц определенного   порядка, операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства 
Понятие арифметической операции – довольно обширно. Его можно применять практически ко всем операциям. Поэтому глубокое изучение этого определения не вполне допустимо 
При изучении алгебры зачастую приходится сталкиваться с операциями, имеющими ряд свойств: 
Свойство ассоциативности 
В приведенных примерах арифметических операций это свойство выполняется почти везде, кроме операций вычитания и операций векторного произведения 
Исходя из свойства ассоциативности, можно сделать вывод, что произведение любого количества сомножителей определено однозначно. Причем произведение не зависит от того, как расставлены скобки: 
Однако при такой расстановке нельзя нарушать порядок, в котором следуют сомножители 
С помощью свойства ассоциативности можно узнать степень любого элемента с натуральным показателем степени. Например : 
  ( n сомножителей) 
Обычные правила действий со степенями, при такой форме записи, также работают: 
Свойство коммутативности 
Свойство коммутативности справедливо при сложении и умножении чисел, но не допустимо при умножении матриц и композиции перестановок 
Если объединить свойство ассоциативности и коммутативности, то можно хоть как переставлять сомножители в произведении, независимо от их числа 
Также можно сказать, что: 
Свойство наличия нейтрального элемента 
Для арифметической операции элемент n называется нейтральным 
Элемент n не зависит от того, какой x мы выберем 
Например: для сложения нейтральный элемент - число ноль, для умножения - число единица 
При умножении матриц нейтральным элементом будет являться единичная матрица, а при композиции перестановок - тождественная перестановка 
Если перемножение будет векторным, то нейтральный элемент будет отсутствовать 
Если в системе существует один нейтральный элемент, то, если операция ассоциативна, существует возможность определить степень с нулевым показателем : 
При этом элемент x может быть любым. Свойства степени сохраняются и при показателе = 0 
Свойство наличия обратного элемента 
Это свойство стоит рассматривать, если у операции * существует нейтральный элемент 
Обратный элемент   - это такой элемент, при умножении, на который числа x получается нейтральный элемент: 
При сложении чисел можно сказать, что обратный элемент существует для любого числа и равен этому же числу, взятому с противоположным знаком 
При умножении обратный элемент существует для всех чисел, кроме 0 
При умножении матриц обратный элемент равен обратной матрице. Он существует, если определитель матрицы не равен нулю (матрица «невырожденная») 
Если у элемента существует обратный, то его называют «обратимым» 
Элемент   всегда обратим, а обратный для него исходный элемент x 
Для ассоциативного произведения двух обратимых элементов результат будет являться тоже обратимым. Причем: 
Действительно : и наоборот: 
Если   - элемент, который определен однозначно, то степени x с отрицательным показателем можно записать так: 
   , где   m=1 ,2,... Правила действий со степенями сохраняются 
Замечание: для определенных алгебраических систем существует две разновидности алгебраических операций. Первая – сложение: обозначается знаком (+). В этом случае говорят об аддитивном способе записи операции. Вторая – умножение: обозначается знаком (.), тогда говорят о мультипликативном способе записи операции 
Если операция записана аддитивно, то она зачастую является коммутативной. Тогда термин « обратный » заменяется на « противоположный элемент ». Такой элемент обозначается ( -x) и говорят о его кратности ( nx), а не о степени элемента 
Группы 
Группа ( G,* ) – это множество G, с определенной на нем бинарной операцией (*), при условии, что выполняются следующие условия: 
Все элементы G обратимы 
У операции существует нейтральный элемент 
Операция (*) является ассоциативной 
Например: 
C - группа комплексных чисел с операцией сложения (аддитивная группа комплексных чисел) 
R - группа действительных чисел с операцией сложения (аддитивная группа действительных чисел) 
- группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения (мультипликативная группа комплексных чисел) 
- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел) 
  - группа невырожденных матриц порядка n с комплексными элементами 
  - группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами 
- группа перестановок множества 1,2, ..., n 
Во всех примерах выполняются условия существования группы 
Приведем некоторые простейшие свойства алгебраических систем. В дальнейшем будем считать, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G 
Закон сокращения 
  (правое сокращение) 
  (левое сокращение) 
Докажем, второй закон. По свойству существования обратного элемента и свойству ассоциативности операции получим: 
y=z 
Единственность нейтрального элемента 
Нейтральный элемент в любой группе определен однозначно 
Если и   - нейтральные элементы, то по определению , а , поэтому . Нейтральный элемент группы G будем обозначать   или e 
Признак нейтрального элемента 
Если , тогда , откуда по закону сокращения получаем 
Единственность обратного элемента 
Для каждого элемента x обратный элемент   определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z 
Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции) 
Элемент z   определен однозначно. (Его называют « частным » от деления y на x) 
. поэтому можно взять . Из закона сокращения : 
Подгруппы 
Группа   называется подгруппой группы , если, во-первых 
  (как подмножество) и, во-вторых, 
Подгруппа обозначается с помощью символа включения :   или 
Подгруппы: 
Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу   в группе   всех невырожденных матриц 
Четные перестановки образуют подгруппу     в группе   всех перестановок 
Целые числа с операцией сложения ( Z) образуют подгруппу в группе R , которая, в свою очередь является подгруппой группы C 
Для того, чтобы проверить, является ли подмножество H в G подгруппой нужно проверить следующие условия : 
Но вместо трех этих условий можно проверить только одно: 
Это условие называют признак подгруппы